Импульсная характеристика линейной электрической цепи обладает свойством. Импульсная характеристика цепи. Переходная и импульсная характеристика
3. Импульсные характеристики электрических цепей
Импульсной характеристикой цепи называют отношение реакции цепи на импульсное воздействие к площади этого воздействия при нулевых начальных условиях.
По определению ,
где – реакция цепи на импульсное воздействие;
– площадь импульса воздействия.
По известной импульсной характеристике цепи можно найти реакцию цепи на заданное воздействие: .
В качестве функции воздействия часто используется единичное импульсное воздействие называемое также дельта-функцией или функцией Дирака.
Дельта-функция – это функция всюду равная нулю, кроме , а площадь ее равна единице ():
.
К понятию дельта-функция можно прийти, рассматривая предел прямоугольного импульса высотой и длительностью , когда (рис. 3):
Установим связь между передаточной функцией цепи и ее импульсной характеристикой, для чего используем операторный метод.
По определению:
Если воздействие (оригинал) рассматривать для наиболее общего случая в виде произведения площади импульса на дельта-функцию, т. е. в виде , то изображение этого воздействия согласно таблицы соответствий имеет вид:
.
Тогда с другой стороны, отношение преобразованной по Лапласу реакции цепи к величине площади импульса воздействия, представляет собой операторную импульсную характеристику цепи:
.
Следовательно, .
Для нахождения импульсной характеристики цепи необходимо применить обратное преобразование Лапласа:
, т.
е. фактически
.
Обобщая формулы, получим связь между операторной передаточной функцией цепи и операторными переходной и импульсной характеристиками цепи:
Таким образом, зная одну из характеристик цепи, можно определить любые другие.
Произведем тождественное преобразование равенства, прибавив к средней части .
Тогда будем иметь .
Поскольку
представляет собой изображение
производной переходной характеристики,
то исходное равенство можно переписать
в виде:
Переходя в область оригиналов, получаем формулу, позволяющую определить импульсную характеристику цепи по известной ее переходной характеристике:
Если , то .
Обратное соотношение между указанными характеристиками имеет вид:
.
По передаточной функции легко установить наличие в составе функции слагаемого .
Если степени числителя и знаменателя одинаковы, то рассматриваемое слагаемое будет присутствовать. Если же функция является правильной дробью, то этого слагаемого не будет.
Пример: определить импульсные характеристики для напряжений и в последовательной -цепи, показанной на рисунке 4.
Определим :
По таблице соответствий перейдем к оригиналу:
.
График этой функции показан на рисунке 5.
Рис. 5
Передаточная функция :
Согласно таблице соответствий имеем:
.
График полученной функции показан на рисунке 6.
Укажем, что такие же выражения можно было получить с помощью соотношений, устанавливающих связь между и.
Импульсная характеристика по физическому смыслу отражает собой процесс свободных колебаний и по этой причине можно утверждать, что в реальных цепях всегда должно выполняться условие:
4. Интегралы свертки (наложения)
Рассмотрим порядок определения реакции линейной электрической цепи на сложное воздействие, если известна импульсная характеристика этой цепи . Будем считать, что воздействие представляет собой кусочно-непрерывную функцию , показанную на рисунке 7.
Пусть требуется найти значение реакции в некоторый момент времени . Решая эту задачу, представим воздействие в виде суммы прямоугольных импульсов бесконечно малой длительности, один из которых, соответствующий моменту времени , показан на рисунке 7. Этот импульс характеризуется длительностью и высотой .
Из ранее рассмотренного материала известно, что реакцию цепи на короткий импульс можно считать равной произведению импульсной характеристики цепи на площадь импульсного воздействия. Следовательно, бесконечно малая составляющая реакции, обусловленная этим импульсным воздействием, в момент времени будет равной:
поскольку площадь импульса равна , а от момента его приложения до момента наблюдения проходит время .
Используя принцип наложения, полную реакцию цепи можно определить как сумму бесконечно большого числа бесконечно малых составляющих , вызванных последовательностью бесконечно малых по площади импульсных воздействий, предшествующих моменту времени .
Таким образом:
.
Эта формула верна для любых значений , поэтому обычно переменную обозначают просто . Тогда:
.
Полученное соотношение называют интегралом свертки или интегралом наложения. Функцию, которая находится в результате вычисления интеграла свертки, называют сверткой и .
Можно найти другую форму интеграла свертки, если в полученном выражении для осуществить замену переменных:
.
Пример: найти напряжение на емкости последовательной -цепи (рис. 8), если на входе действует экспоненциальный импульс вида:
цепи
связан: с изменением энергетического состояния... (+0),. Uc(-0) = Uc(+0). 3. Переходная
характеристика
электрической
цепи
это: Отклик на единичное ступенчатое...
Исследование цепи второго порядка. Поиск входной и предаточной характеристики
Курсовая работа >> Коммуникации и связь3. Переходная и импульсная характеристики цепи Лаплас образ переходной характеристики имеет вид. Для получения переходной характеристики во... А., Золотницкий В. М., Чернышев Э. П. Основы теории электрических цепей .-СПб.:Лань, 2004. 2. Дьяконов В. П. MATLAB ...
Основные положения теории переходных процессов
Реферат >> ФизикаЛапласа; – временной, использующий переходные и импульсные характеристики ; – частотный, базирующийся на... классического метода анализа переходных колебаний в электрических цепях Переходные процессы в электрических цепях описываются уравнениями, ...
Академия России
Кафедра Физики
Лекция
Переходные и импульсные характеристики электрических цепей
Орел 2009
Учебные и воспитательные цели:
Разъяснить слушателям сущность переходной и импульсной характеристик электрических цепей, показать связь между характеристиками, обратить внимание на применение рассматриваемых характеристик для анализа и синтеза ЭЦ, нацелить на качественную подготовку к практическому занятию.
Распределение времени лекции
Вступительная часть……………………………………………………5 мин.
Учебные вопросы:
1. Переходные характеристики электрических цепей………………15 мин.
2. Интегралы Дюамеля………………………………………………...25 мин.
3. Импульсные характеристики электрических цепей. Связь между характеристиками………………………………………….………...25 мин.
4. Интегралы свертки………………………………………………….15 мин.
Заключение……………………………………………………………5 мин.
1. Переходные характеристики электрических цепей
Переходная характеристика цепи (как и импульсная) относится к временным характеристикам цепи, т. е. выражает некоторый переходный процесс при заранее установленных воздействиях и начальных условиях.
Для сравнения электрических цепей по их реакции к этим воздействиям, необходимо цепи поставить в одинаковые условия. Наиболее простыми и удобными являются нулевые начальные условия.
Переходной характеристикой цепи называют отношение реакции цепи на ступенчатое воздействие к величине этого воздействия при нулевых начальных условиях.
По определению ,
– реакция цепи на ступенчатое воздействие; – величина ступенчатого воздействия [В] или [А]. и делится на величину воздействия (это вещественное число), то фактически – реакция цепи на единичное ступенчатое воздействие.Если переходная характеристика цепи известна (или может быть вычислена), то из формулы можно найти реакцию этой цепи на ступенчатое воздействие при нулевых НУ
Установим связь между операторной передаточной функцией цепи, которая часто известна (или может быть найдена), и переходной характеристикой этой цепи. Для этого используем введенное понятие операторной передаточной функции:
Отношение преобразованной по Лапласу реакции цепи к величине воздействия
представляет собой операторную переходную характеристику цепи:Следовательно .
Отсюда находится операторная переходная характеристика цепи по операторной передаточной функции.
Для определения переходной характеристики цепи необходимо применить обратное преобразование Лапласа:
,воспользовавшись таблицей соответствий или (предварительно) теоремой разложения.
Пример: определить переходную характеристику для реакции напряжение на емкости в последовательной
-цепи (рис. 1):Здесь реакция на ступенчатое воздействие величиной
:откуда переходная характеристика:
Переходные характеристики наиболее часто встречающихся цепей найдены и даны в справочной литературе.
2. Интегралы Дюамеля
Переходную характеристику часто используют для нахождения реакции цепи на сложное воздействие. Установим эти соотношения.
Условимся, что воздействие
является непрерывной функцией и подводится к цепи в момент времени , а начальные условия – нулевые.Заданное воздействие
можно представить как сумму ступенчатого воздействия приложенного к цепи в момент и бесконечно большого числа бесконечно малых ступенчатых воздействий, непрерывно следующих друг за другом. Одно из таких элементарных воздействий, соответствующих моменту приложения показано на рисунке 2.Найдем значение реакции цепи в некоторый момент времени
.Ступенчатое воздействие с перепадом
к моменту времени обуславливает реакцию, равную произведению перепада на значение переходной характеристики цепи при , т. е. равную:Бесконечно малое же ступенчатое воздействие с перепадом
, обуславливает бесконечно малую реакцию , где есть время, прошедшее от момента приложения воздействия до момента наблюдения. Так как по условию функция непрерывна, то:В соответствии с принципом наложения реакции
будет равна сумме реакций, обусловленных совокупностью воздействий, предшествующих моменту наблюдения , т. е.Обычно в последней формуле
заменяют просто на , поскольку найденная формула верна при любых значениях времени :18. Реакция линейных цепей на единичные функции. Переходная и импульсная характеристики цепи, их связь.
Единичная ступенчатая функция (функция включения) 1 (t) определяется следующим образом:
График функции 1 (t) показан на рис. 2.1.
Функция 1 (t) равна нулю при всех отрицательных значениях аргумента и единице при t ³ 0 . Введем в рассмотрение также смещенную единичную ступенчатую функцию
Такое воздействие включается в момент времени t = t ..
Напряжение в виде единичной ступенчатой функции на входе цепи будет при подключении источника постоянного напряжения U 0 =1 В при t = 0 с помощью идеального ключа (рис. 2.3).
Единичная импульсная функция (d - функция, функция Дирака) определяется как производная от единичной ступенчатой функции. Поскольку в момент времени t = 0 функция 1 (t ) претерпевает разрыв, то ее производная не существует (обращается в бесконечность). Таким образом, единичная импульсная функция
Это особая функция или математическая абстракция, но ее широко используют при анализе электрических и других физических объектов. Подобного рода функции рассматриваются в математической теории обобщенных функций.
Воздействие в виде единичной импульсной функции можно рассматривать как ударное воздействие (достаточно большая амплитуда и бесконечно малое время воздействия). Вводится также единичная импульсная функция, смещенная на время t = t
Единичную импульсную функцию принято графически изображать в виде вертикальной стрелки при t = 0, а смещенную при - t = t (рис. 2.4).
Если взять интеграл от единичной импульсной функции, т.е. определить площадь, ограниченную ею, то получим следующий результат:
Рис.
2.4.
Очевидно, что интервал интегрирования может быть любым, лишь бы туда попала точка t = 0. Интеграл от смещенной единичной импульсной функции d (t-t ) также равен 1 (если в пределы интегрирования попадает точка t = t). Если взять интеграл от единичной импульсной функции умноженной на некоторый коэффициент А 0 , то очевидно результат интегрирования будет равен этому коэффициенту. Следовательно, коэффициент А 0 перед d (t ) определяет площадь, ограниченную функцией А 0 d (t ).
Для физической интерпретации d - функции целесообразно ее рассматривать как предел, к которому стремиться некоторая последовательность обычных функции, например
Переходная и импульсная характеристики
Переходной характеристикой h(t) называется реакция цепи на воздействие в виде единичной ступенчатой функции 1 (t ). Импульсной характеристикой g(t) называется реакция цепи на воздействие в виде единичной импульсной функции d (t ). Обе характеристики определяются при нулевых начальных условиях.
Переходная и импульсная функции характеризуют цепь в переходном режиме, так как они являются реакциями на скачкообразные, т.е. довольно тяжелые для любой системы воздействия. Кроме того, как будет показано ниже с помощью переходной и импульсной характеристик может быть определена реакция цепи на произвольное воздействие. Переходная и импульсная характеристики связаны между собой также как связаны между собой соответствующие воздействия. Единичная импульсная функция является производной от единичной ступенчатой функции (см. (2.2)), поэтому импульсная характеристика является производной от переходной характеристики и при h (0) = 0 . (2.3)
Это утверждение следует из общих свойств линейных систем, которые описываются линейными дифференциальными уравнениями, в частности, если к линейной цепи с нулевыми начальными условиями вместо воздействия прикладывается его производная, то реакция будет равна производной от исходной реакции.
Из двух рассматриваемых характеристик наиболее просто определяется переходная, так как она может быть вычислена по реакции цепи на включение на входе источника постоянного напряжения или тока. Если такая реакция известна, то для получения h(t) достаточно разделить ее на амплитуду входного постоянного воздействия. Отсюда следует, что переходная (также как и импульсная) характеристика может иметь размерность сопротивления, проводимости или быть безразмерной величиной в зависимости от размерности воздействия и реакции.
Пример . Определить переходную h(t) и импульсную g (t ) характеристики последовательной RC-цепи.
Воздействием является входное напряжение u 1 (t ), а реакцией - напряжение на емкости u 2 (t ). Согласно определению переходной характеристики ее следует определять как напряжение на выходе, когда на вход цепи подключается источник постоянного напряжения U 0
Такая
задача была решена в разделе 1.6, где
получено u
2
(t
)
= u
C
(t
)
=
Таким
образом,h(t)
= u
2
(t
)
/ U
0
=
Импульсную
характеристику определим по (2.3)
.
Рассмотрим линейную электрическую цепь, не содержащую независимых ис точников тока и напряжения. Пусть внешнее воздействие на цепь представляет со
Переходной характеристикой g (t -t 0 ) линейной цепи, не содержащей незави симых источников энергии, называется отношение реакции этой цепи на воздейст вие неединичного скачка тока или напряжения к высоте этого скачка при нулевых начальных условиях:
реходная характеристика цепи численно равна реакции цепи на воздействие единич ного скачка тока или напряжения. Размерность переходной характеристики равна отношению размерности отклика к размерности внешнего воздействия, поэтому переходная характеристика может иметь размерность сопротивления, проводимо сти или быть безразмерной величиной.
Пусть внешнее воздействие на цепь имеет форму бесконечно короткого им пульса бесконечно большой высоты и конечной площади А И :
и .
Реакцию цепи на это воздействие при нулевых начальных условиях обозначим
Импульсной характеристикой h (t -t 0 ) линейной цепи, не содержащей неза висимых источников энергии, называется отношение реакции этой цепи на воздей ствие бесконечно короткого импульса бесконечно большой высоты и конечной площади к площади этого импульса при нулевых начальных условиях:
⁄ и . |
Как следует из выражения (6.109), импульсная характеристика цепи численно равна реакции цепи на воздействие единичного импульса (А И = 1). Размерность им пульсной характеристики равна отношению размерности отклика цепи к произве дению размерности внешнего воздействия на время.
Подобно комплексной частотной и операторной характеристикам цепи, пере ходная и импульсная характеристики устанавливают связь между внешним воздей ствием на цепь и ее реакцией, однако в отличие от комплексной частотной и опера торной характеристик аргументом переходной и импульсной характеристик явля ется время t , а не угловая ω или комплексная р частота. Так как характеристики це пи, аргументом которых является время, называются временны́ми, а аргументом которых является частота (в том числе и комплексная) - частотными характери
стиками (см. модуль 1.5), то переходная и импульсная характеристики относятся к временны́м характеристикам цепи.
Каждой паре « внешнее воздействие на цепь - реакция цепи » можно поставить в соответствие определенную комплексную частотную
Для установления связи между этими характеристиками найдем операторные изображения переходной и импульсной характеристик. Используя выражения
(6.108), (6.109), запишем
Операторные изображения реакции цепи на внеш |
|||||||
ние воздействия. Выражая |
через операторные изображения внешних |
||||||
воздействий |
Аи |
; получаем |
|||||
0 операторные изображения переходной и импульсной характери |
|||||||
стик имеют особенно простой вид: |
|||||||
Таким образом, импульсная характеристика цепи |
Это функция, изо |
||||||
бражение которой по Лапласу, представляет собой операторную характеристику це
между частотными и временными характеристиками цепи. Зная, например, им пульсную характеристику можно с помощью прямого преобразования Лапла са найти соответствующую операторную характеристику цепи
Используя выражения (6.110) и теорему дифференцирования (6.51), нетрудно установить связь между переходной и импульсной характеристиками:
Следовательно, импульсная характеристика цепи равна первой производной переходной характеристики по времени. В связи с тем, что переходная характери стика цепи g (t-t 0 ) численно равна реакции цепи на воздействие единичного скачка напряжения или тока, приложенного к цепи с нулевыми начальными условиями, значения функции g (t-t 0 ) при t < t 0 равны нулю. Поэтому, строго говоря, переход ную характеристику цепи следует записывать как g (t-t 0 ) ∙ 1(t-t 0 ), а не g (t-t 0 ). За меняя в выражении (6.112) g (t-t 0 ) на g (t-t 0 ) ∙ 1(t-t 0 ) и используя соотношение (6.104), получаем
Выражение (6.113) известно под названием формулы обобщенной производ ной . Первое слагаемое в этом выражении представляет собой производную пере ходной характеристики при t > t 0 , а второе слагаемое содержит произведение δ функции на значение переходной характеристики в точке t = t 0 . Если при t = t 0 функ ция g (t-t 0 ) изменяется скачкообразно, то импульсная характеристика цепи содер жит δ функцию, умноженную на высоту скачка переходной характеристики в точке t = t 0 . Если функция g (t-t 0 ) не претерпевает разрыва при t = t 0 , т. е. значение переход ной характеристики в точке t = t 0 равно нулю, то выражение для обобщенной произ водной совпадает с выражением для обычной производной.
Методы определения временных характеристик
Для определения временны́х характеристик линейной цепи в общем случае не обходимо рассмотреть переходные процессы, имеющие место в данной цепи при воздействии на нее единичного скачка (единичного импульса) тока или напряже ния. Это может быть выполнено с помощью классического или операторного метода анализа переходных процессов. На практике для нахождения временных характери стик линейных цепей удобно использовать другой путь, основанный на применении соотношений, устанавливающих связь между частотными и временными характери стиками. Определение временных характеристик в этом случае начинается с состав
операторную характеристику цепи и применяя соотношения (6.110) или (6.111), оп ределяют искомые временные характеристики.
щающего цепи определенную энергию. Токи индуктивностей и напряжения емко стей при этом скачком изменяются на значение, соответствующее поступившей в цепь энергии. На втором этапе (при) действие приложенного к цепи внешне го воздействия закончилось (при этом соответствующие источники энергии вы ключены, т. е. представлены внутренними сопротивлениями), и в цепи возникают свободные процессы, протекающие за счет энергии, запасенной в реактивных эле ментах на первой стадии переходного процесса. Таким образом, импульсная харак теристика цепи, численно равная реакции на воздействие единичного импульса то ка или напряжения, характеризует свободные процессы в рассматриваемой цепи.
Пример6.7.Для цепи, схема которой приведена на рис. 3.12, а, найдем переходную и импульсную характеристики в режиме холостого хода на зажимах 2―2". Внешнее воздейст
вие на цепь ― напряжение на зажимах 1―1" |
Реакция цепи ― напряжение на зажи |
|
Операторная характеристика данной цепи, соответствующая заданной паре «внеш нее воздействие на цепь ― реакция цепи», была получена в примере 6.5:
х ⁄ .
Следовательно, операторные изображения переходной и импульсной характери стик цепи имеют вид
⁄ ;
1 ⁄ 1 ⁄ .
Используя таблицы обратного преобразования Лапласа см. приложение 1 , пере ходим от изображений искомых временных характеристик к оригиналам рис. 6.20, а, б:
Отметим, что выражение для импульсной характеристики цепи может быть полу чено и с помощью формулы 6.113 , примененной к выражению для переходной характери стики цепи g t .
Для качественного объяснения вида переходной и импульсной характеристик цепи в данном включении рис. 6.20, а, б подсоединим к зажимам 1-1" независимый источник напряжения рис. 6.20, в. Переходная характеристика данной цепи численно рав на напряжению на зажимах 2-2" при воздействии на цепь единичного скачка напряжения
1 В и нулевых начальных условиях. В начальный момент времени после коммута