Імпульсна характеристика лінійного електричного ланцюга має властивість. Імпульсна характеристика ланцюга. Перехідна та імпульсна характеристика
3. Імпульсні характеристики електричних кіл
Імпульсною характеристикою ланцюга називають відношення реакції ланцюга на імпульсний вплив до площі цього впливу за нульових початкових умов.
За визначенням ,
де - Реакція ланцюга на імпульсний вплив;
- Площа імпульсу дії.
По відомої імпульсної характеристиці ланцюга можна визначити реакцію ланцюга на заданий вплив: .
Як функція впливу часто використовується одиничний імпульсний вплив званий також дельта-функцією або функцією Дірака.
Дельта-функція – це функція всюди дорівнює нулю, крім , а площа її дорівнює одиниці ():
.
До поняття дельта-функція можна прийти, розглядаючи межу прямокутного імпульсу заввишки та тривалістю, коли (рис. 3):
Встановимо зв'язок між передавальною функцією ланцюга та його імпульсною характеристикою, для чого використовуємо операторний метод.
За визначенням:
Якщо вплив (оригінал) розглядати для найбільш загального випадку у вигляді добутку площі імпульсу на дельта-функцію, тобто у вигляді , то зображення цього впливу відповідно до таблиці відповідностей має вигляд:
.
Тоді з іншого боку, відношення перетвореної Лапласом реакції ланцюга до величини площі імпульсу впливу, являє собою операторну імпульсну характеристику ланцюга:
.
Отже, .
Для знаходження імпульсної характеристики ланцюга необхідно застосувати зворотне перетворення Лапласа:
, тобто фактично 
.
Узагальнюючи формули, отримаємо зв'язок між операторною передатною функцією ланцюга та операторними перехідною та імпульсною характеристиками ланцюга:
Таким чином, знаючи одну з характеристик ланцюга, можна визначити будь-які інші.
Зробимо тотожне перетворення рівності, додавши до середньої частини.
Тоді будемо мати.
Оскільки 
є зображення похідної перехідної характеристики, то вихідну рівність можна переписати у вигляді:
Переходячи в область оригіналів, отримуємо формулу, що дозволяє визначити імпульсну характеристику ланцюга за відомою її перехідною характеристикою:
Якщо то .
Зворотне співвідношення між зазначеними характеристиками має вигляд:
.
По передавальній функції легко встановити наявність у складі функції доданку.
Якщо ступеня чисельника і знаменника однакові, то доданок буде присутній. Якщо ж функція є правильним дробом, цього складового не буде.
Приклад: визначити імпульсні характеристики для напруг і в послідовній ланцюга, показаної на малюнку 4.
Визначимо:
За таблицею відповідностей перейдемо до оригіналу:
.
Графік цієї функції показаний малюнку 5.
Мал. 5
Передатна функція:
Відповідно до таблиці відповідностей маємо:
.
Графік отриманої функції показаний малюнку 6.
Вкажемо, що такі ж вирази можна було отримати за допомогою співвідношень, що встановлюють зв'язок між і.
Імпульсна характеристика за фізичним змістом відбиває собою процес вільних коливань і тому можна стверджувати, що у реальних ланцюгах завжди має виконуватися умова:
4. Інтеграли згортки (накладення)
Розглянемо порядок визначення реакції лінійного електричного ланцюга на складну дію, якщо відома імпульсна характеристика цього ланцюга. Вважатимемо, що вплив являє собою шматково-безперервну функцію, показану на малюнку 7.
Нехай потрібно знайти значення реакції у певний момент часу. Вирішуючи це завдання, представимо вплив як суми прямокутних імпульсів нескінченно малої тривалості, одне із яких, відповідний моменту часу , показаний малюнку 7. Цей імпульс характеризується тривалістю і заввишки .
З раніше розглянутого матеріалу відомо, що реакцію ланцюга на короткий імпульс можна вважати рівною добутку імпульсної характеристики ланцюга на площу імпульсного впливу. Отже, нескінченно мала складова реакції, обумовлена цим імпульсним впливом, у момент часу буде рівною:
оскільки площа імпульсу дорівнює, а від моменту його застосування до моменту спостереження минає час.
Використовуючи принцип накладення, повну реакцію ланцюга можна визначити як суму нескінченно великої кількості нескінченно малих складових, викликаних послідовністю нескінченно малих за площею імпульсних впливів, що передують моменту часу.
Таким чином:
.
Ця формула правильна для будь-яких значень, тому зазвичай змінну позначають просто. Тоді:
.
Отримане співвідношення називають інтегралом згортки або інтегралом накладання. Функцію, яка знаходиться в результаті обчислення інтеграла згортки, називають згорткою та .
Можна знайти іншу форму інтеграла згортки, якщо в отриманому виразі здійснити заміну змінних:
.
Приклад: знайти напругу на ємності послідовної ланцюга (рис. 8), якщо на вході діє експоненційний імпульс виду:
ланцюга пов'язаний: із зміною енергетичного стану... (+0),. Uc(-0) = Uc(+0). 3. Перехідна характеристика електричної ланцюгице: Відгук на одиничне східчасте...
Дослідження ланцюгидругого порядку. Пошук вхідний та передаточний Характеристики
Курсова робота >> Комунікації та зв'язок3. Перехіднаі імпульсна Характеристики ланцюгиЛаплас образ перехідний Характеристикимає вигляд. Для отримання перехідний Характеристикив... А., Золотницький В. М., Чернишов Е. П. Основи теорії електричних ланцюгів.-СПб.: Лань, 2004. 2. Дияконів В. П. MATLAB ...
Основні положення теорії перехіднихпроцесів
Реферат >> ФізикаЛапласа; – тимчасовий, який використовує перехідніі імпульсні Характеристики; - Частотний, що базується на... класичного методу аналізу перехіднихколивань у електричних ланцюгах Перехідніпроцеси в електричних ланцюгахописуються рівняннями, ...
Академія Росії
Кафедра Фізики
Лекція
Перехідні та імпульсні характеристики електричних кіл
Орел 2009
Навчальні та виховні цілі:
Роз'яснити слухачам сутність перехідної та імпульсної характеристик електричних кіл, показати зв'язок між характеристиками, звернути увагу на застосування аналізованих характеристик для аналізу та синтезу ЕЦ, націлити на якісну підготовку до практичного заняття.
Розподіл часу лекції
Вступна часть……………………………………………………5 хв.
Навчальні питання:
1. Перехідні характеристики електричних ланцюгів………………15 хв.
2. Інтеграли Дюамеля………………………………………………...25 хв.
3. Імпульсні характеристики електричних кіл. Зв'язок між характеристиками………………………………………….………...25 хв.
4. Інтеграли згортки………………………………………………….15 хв.
Заключение……………………………………………………………5 хв.
1. Перехідні характеристики електричних кіл
Перехідна характеристика ланцюга (як і імпульсна) відноситься до тимчасових характеристик ланцюга, тобто висловлює деякий перехідний процес при заздалегідь встановлених впливах та початкових умовах.
Для порівняння електричних кіл з їхньої реакції до цих впливів, необхідно ланцюги поставити в однакові умови. Найбільш простими та зручними є нульові початкові умови.
Перехідною характеристикою ланцюга називають відношення реакції ланцюга на ступінчасту дію до величини цього впливу за нульових початкових умов.
За визначенням ,
- Реакція ланцюга на ступінчасту дію; – величина ступінчастої дії [В] або [А]. і ділиться на величину впливу (це речове число), то фактично – реакція ланцюга на одиничний ступінчастий вплив.Якщо перехідна характеристика ланцюга відома (чи може бути обчислена), то з формули можна знайти реакцію цього ланцюга на ступінчасту дію при нульових НУ
Встановимо зв'язок між операторною функцією передачі ланцюга, яка часто відома (або може бути знайдена), і перехідною характеристикою цього ланцюга. Для цього використовуємо введене поняття операторної передавальної функції:
Відношення перетвореної за Лапласом реакції ланцюга до величини впливу
є операторною перехідною характеристикою ланцюга:Отже.
Звідси знаходиться операторна перехідна характеристика ланцюга операторної передавальної функції.
Для визначення перехідної характеристики ланцюга необхідно застосувати зворотне перетворення Лапласа:
,скориставшись таблицею відповідностей або (попередньо) теоремою розкладання.
Приклад: визначити перехідну характеристику реакції напруга на ємності в послідовній
-ланцюги (рис. 1):Тут реакція на ступінчасту дію величиною
:звідки перехідна характеристика:
Перехідні характеристики ланцюгів, що найчастіше зустрічаються, знайдені і дані в довідковій літературі.
2. Інтеграли Дюамеля
Перехідну характеристику часто використовують знаходження реакції ланцюга на складний вплив. Встановимо ці співвідношення.
Умовимося, що вплив
є безперервною функцією і підводиться до ланцюга в останній момент часу , а початкові умови – нульові.Заданий вплив
можна як суму ступінчастого впливу прикладеного до ланцюга в останній момент і нескінченно великої кількості нескінченно малих ступінчастих впливів, безперервно наступних друг за одним. Один з таких елементарних впливів, що відповідають моменту програми, показано на малюнку 2.Знайдемо значення реакції ланцюга у певний момент часу
.Ступінчаста дія з перепадом
на момент часу зумовлює реакцію, рівну добутку перепаду значення перехідної характеристики ланцюга при , т. е. рівну:Нескінченна мала ж східчаста дія з перепадом
, обумовлює нескінченно малу реакцію , де є час, що минув з моменту застосування до моменту спостереження. Оскільки за умовою функція безперервна, то:Відповідно до принципу накладення реакції
дорівнюватиме сумі реакцій, обумовлених сукупністю впливів, попередніх моменту спостереження , тобто.Зазвичай в останній формулі
замінюють просто на , оскільки знайдена формула вірна за будь-яких значень часу :18. Реакція лінійних ланцюгів на поодинокі функції. Перехідна та імпульсна характеристики ланцюга, їх зв'язок.
Поодинока ступінчаста функція (функція включення) 1 (t) визначається наступним чином:
Графік функції 1 (t) показано на рис. 2.1.
Функція 1 (t) дорівнює нулю при всіх негативних значеннях аргументу та одиниці при t ³ 0 . Введемо на розгляд також зміщену одиничну ступінчасту функцію
Така дія включається в момент часу t= t ..
Напруга у вигляді одиничної ступінчастої функції на вході ланцюга буде при підключенні джерела постійної напруги U 0 =1 В при t= 0 з допомогою ідеального ключа (рис. 2.3).
Поодинока імпульсна функція (d - функція, функція Дірака) визначається як похідна від одиничної ступінчастої функції. Оскільки на момент часу t= 0 функція 1 (t) зазнає розриву, то її похідна не існує (звертається в нескінченність). Таким чином, одинична імпульсна функція
Це особлива функція або математична абстракція, але її широко використовують під час аналізу електричних та інших фізичних об'єктів. Подібні функції розглядаються в математичній теорії узагальнених функцій.
Вплив у вигляді одиничної імпульсної функції можна розглядати як ударний вплив (досить велика амплітуда та нескінченно малий час дії). Вводиться також одинична імпульсна функція, зміщена на якийсь час t= t
Одиничну імпульсну функцію прийнято графічно зображати у вигляді вертикальної стрілки при t= 0, а зміщену при - t= t (рис. 2.4).
Якщо інтеграл від одиничної імпульсної функції, тобто. визначити площу, обмежену нею, то отримаємо наступний результат:
Мал. 2.4.
Очевидно, що інтервал інтегрування може бути будь-яким, аби туди потрапила крапка t= 0. Інтеграл від зміщеної одиничної імпульсної функції d ( t-t) також дорівнює 1 (якщо у межі інтегрування потрапляє точка t= t). Якщо взяти інтеграл від одиничної імпульсної функції, помноженої на деякий коефіцієнт А 0 , то очевидно результат інтегрування дорівнюватиме цьому коефіцієнту. Отже, коефіцієнт А 0 перед d ( t) визначає площу, обмежену функцією А 0 d ( t).
Для фізичної інтерпретації d – функції доцільно її розглядати як межу, до якої прагнути деяка послідовність звичайних функції, наприклад
Перехідна та імпульсна характеристики
Перехідною характеристикою h(t)називається реакція ланцюга на вплив у вигляді одиничної ступінчастої функції 1 (t). Імпульсною характеристикою g(t)називається реакція ланцюга на вплив як одиничної імпульсної функції d ( t). Обидві характеристики визначаються за початкових нульових умов.
Перехідна і імпульсна функції характеризують ланцюг у перехідному режимі, оскільки є реакціями на стрибкоподібні, тобто. досить тяжкі для будь-якої системи впливу. Крім того, як буде показано нижче за допомогою перехідної та імпульсної характеристик може бути визначена реакція ланцюга на довільну дію. Перехідна та імпульсна характеристики пов'язані між собою також як пов'язані між собою відповідні дії. Одинична імпульсна функція є похідною від одиничної ступінчастої функції (див. (2.2)), тому імпульсна характеристика є похідною від перехідної характеристики h(0) = 0 . (2.3)
Це твердження випливає із загальних властивостей лінійних систем, які описуються лінійними диференціальними рівняннями, зокрема, якщо до лінійного ланцюга з нульовими початковими умовами замість впливу прикладається його похідна, то реакція дорівнюватиме похідної від вихідної реакції.
З двох аналізованих характеристик найбільш просто визначається перехідна, так як вона може бути обчислена реакції ланцюга на включення на вході джерела постійної напруги або струму. Якщо така реакція відома, то отримання h(t)Достатньо розділити її на амплітуду вхідного постійного впливу. Звідси випливає, що перехідна (як і імпульсна) характеристика може мати розмірність опору, провідності чи бути безрозмірною величиною залежно від розмірності впливу і реакції.
приклад . Визначити перехідну h(t)та імпульсну g(t) характеристики послідовного RC-ланцюга.
Впливом є вхідна напруга u 1 (t), а реакцією - напруга на ємності u 2 (t). Відповідно до визначення перехідної характеристики її слід визначати як напругу на виході, коли на вхід ланцюга підключається джерело постійної напруги U 0
Таке завдання було вирішено у розділі 1.6, де отримано u 2
(t)
= u C
(t)
=
Таким чином, h(t)
= u 2
(t)
/ U 0
= Імпульсну характеристику визначимо за (2.3) 
.
Розглянемо лінійний електричний ланцюг, що не містить незалежних джерел струму і напруги. Нехай зовнішнє вплив на ланцюг представляє зі
Перехідною характеристикою g (t -t 0 ) лінійного ланцюга, що не містить незалежних джерел енергії, називається відношення реакції цього ланцюга на вплив непоодинокого стрибка струму або напруги до висоти цього стрибка за нульових початкових умов:
рехідна характеристика ланцюга чисельно дорівнює реакції ланцюга на вплив одиничного стрибка струму або напруги . Розмірність перехідної характеристики дорівнює відношенню розмірності відгуку до розмірності зовнішнього впливу, тому перехідна характеристика може мати розмірність опору, провідності або бути безрозмірною величиною.
Нехай зовнішній вплив на ланцюг має форму нескінченно короткого їм пульсу нескінченно великої висоти та кінцевої площі А І :
та .
Реакцію ланцюга на цей вплив за нульових початкових умов позначимо
Імпульсною характеристикою h (t -t 0 ) лінійного ланцюга, що не містить незалежних джерел енергії, називається відношення реакції цього ланцюга на вплив нескінченно короткого імпульсу нескінченно великої висоти і кінцевої площі до площі цього імпульсу за нульових початкових умов:
⁄ та . |
Як випливає з виразу (6.109), імпульсна характеристика ланцюга чисельно дорівнює реакції ланцюга на вплив одиничного імпульсу(А І = 1). Розмірність їм пульсної характеристики дорівнює відношенню розмірності відгуку ланцюга до творення розмірності зовнішнього впливу на час.
Подібно до комплексної частотної та операторної характеристик ланцюга, переходна та імпульсна характеристики встановлюють зв'язок між зовнішнім впливом на ланцюг та його реакцією, проте на відміну від комплексної частотної та операційної характеристик аргументом перехідної та імпульсної характеристик є час t, а не кутова ω або комплексна частота. Оскільки характеристики ланцюга, аргументом яких є час, називаються тимчасовими, а аргументом яких є частота (у тому числі і комплексна) - частотними характерами.
стиками (див. модуль 1.5), то перехідна та імпульсна характеристики відносяться до тимчасових характеристик ланцюга.
Кожній парі "зовнішній вплив на ланцюг - реакція ланцюга" можна поставити у відповідність певну комплексну частотну
Для встановлення зв'язку між цими характеристиками знайдемо операторні зображення перехідної та імпульсної характеристик. Використовуючи вирази
(6.108), (6.109), запишемо
Операторні зображення реакції ланцюга на зовнішній |
|||||||
ня впливу. Висловлюючи |
через операторні зображення зовнішніх |
||||||
впливів |
Аї |
; отримуємо |
|||||
0 операторні зображення перехідного та імпульсного характеру |
|||||||
стик мають особливо простий вигляд: |
|||||||
Таким чином, імпульсна характеристика ланцюга |
Це функція, з |
||||||
бродіння якої за Лапласом, є операторною характеристикою це
між частотними та тимчасовими характеристиками ланцюга. Знаючи, наприклад, їм пульсну характеристику можна за допомогою прямого перетворення Лапласа знайти відповідну операторну характеристику ланцюга
Використовуючи вирази (6.110) та теорему диференціювання (6.51), неважко встановити зв'язок між перехідною та імпульсною характеристиками:
Отже, імпульсна характеристика ланцюга дорівнює першої похідної перехідної характеристики за часом. У зв'язку з тим, що перехідна характеристика ланцюга g (t-t 0 ) чисельно дорівнює реакції ланцюга на вплив одиничного стрибка напруги або струму, прикладеного до ланцюга з нульовими початковими умовами, значення функції g (t-t 0 ) при t< t 0 равны нулю. Поэтому, строго говоря, переход ную характеристику цепи следует записывать как g (t-t 0 ) ∙ 1(t-t 0 ), а не g (t-t 0 ). За меняя в выражении (6.112) g (t-t 0 ) на g (t-t 0 ) ∙ 1(t-t 0 ) и используя соотношение (6.104), получаем
Вираз (6.113) відомий під назвою формули узагальненої похідної. Перший доданок у цьому вираженні є похідною переходної характеристики при t > t 0 , а другий доданок містить добуток функції на значення перехідної характеристики в точці t = t 0 . Якщо за t = t 0 функція g (t-t 0 ) змінюється стрибкоподібно, то імпульсна характеристика ланцюга містить δ функцію, помножену на висоту стрибка перехідної характеристики в точці t = t 0 . Якщо функція g (t-t 0 ) не зазнає розриву при t = t 0 , тобто значення перехідної характеристики в точці t = t 0 дорівнює нулю, то вираз для узагальненої похідної збігається з виразом для звичайної похідної.
Методи визначення часових характеристик
Для визначення тимчасових характеристик лінійного ланцюга в загальному випадку необхідно розглянути перехідні процеси, що мають місце в даному ланцюгу при впливі на нього одиничного стрибка (поодинокого імпульсу) струму або напруги. Це може бути виконано за допомогою класичного чи операторного методу аналізу перехідних процесів. На практиці для знаходження тимчасових характеристик лінійних ланцюгів зручно використовувати інший шлях, заснований на застосуванні співвідношень, що встановлюють зв'язок між частотними та тимчасовими характеристиками. Визначення тимчасових характеристик у разі починається зі складу
операторну характеристику ланцюга та застосовуючи співвідношення (6.110) або (6.111), визначають шукані часові характеристики.
чала ланцюга певну енергію. Струми індуктивностей і напруги ємностей при цьому стрибком змінюються на значення, відповідне енергії, що надійшла в ланцюг. На другому етапі (при) дія прикладеного до ланцюга зовнішнього впливу закінчилася (при цьому відповідні джерела енергії вимкнені, тобто представлені внутрішніми опорами), і в ланцюзі виникають вільні процеси, що протікають за рахунок енергії, запасеної в реактивних елементах на першої стадії перехідного процесу Таким чином, імпульсна характеристика ланцюга, чисельно рівна реакції на вплив одиничного імпульсу струму або напруги, характеризує вільні процеси в аналізованому ланцюгу.
Приклад6.7.Для ланцюга, схема якого наведена на рис. 3.12, а, знайдемо перехідну та імпульсну характеристики в режимі холостого ходу на затискачах 2―2". Зовнішнє вплив
віє на ланцюг ― напруга на затискачах 1―1" |
Реакція ланцюга - напруга на зажі |
|
Операторна характеристика даного ланцюга, що відповідає заданій парі «зовнішній вплив на ланцюг - реакція ланцюга», була отримана в прикладі 6.5:
х ⁄ .
Отже, операторні зображення перехідної та імпульсної характеристик ланцюга мають вигляд
⁄ ;
1 ⁄ 1 ⁄ .
Використовуючи таблиці зворотного перетворення Лапласа див. додаток 1 , переходимо від зображень тимчасових характеристик, що шукаються, до оригіналів рис. 6.20 а, б:
Зазначимо, що вираз для імпульсної характеристики ланцюга може бути одержаний і за допомогою формули 6.113 , застосованої до виразу для перехідної характеристики ланцюга g t .
Для якісного пояснення виду перехідної та імпульсної характеристик ланцюга у цьому включенні рис. 6.20, а, б під'єднаємо до затискачів 1-1" незалежне джерело напруги рис. 6.20, в.
1 У нульових початкових умовах. У початковий час після комута