Для перекладу чисел з однієї системи числення в іншу необхідно володіти основними відомостями про системи числення та форму представлення чисел у них.

Кількість sрізних цифр, які у системі числення, називається основою, чи базою системи числення. У випадку позитивне число Xу позиційній системі з основою sможе бути представлено у вигляді полінома:

де s- база системи числення; - цифри, допустимі в даній системі числення. Послідовність утворює цілу частину X, а послідовність - дробову частину X.

У обчислювальній техніці найбільше застосування знайшли двійкова (BIN - binary), та двійково кодовані системи числення: вісімкова (OCT - octal), шістнадцяткова (HEX - hexadecimal) та двійково-кодована десяткова (BCD - binary coded decimal).

Надалі для позначення використовуваної системи числення число полягатиме в дужки, а в індексі зазначено основу системи. Число Xна підставі sбуде позначено.

Двійкова система числення

Підставою системи числення служить число 2 ( s= 2) і для запису чисел використовуються лише дві цифри: 0 і 1. Щоб уявити будь-який розряд двійкового числа, достатньо мати фізичний елемент із двома чітко різними стійкими станами, одне з яких зображує 1, а інше 0.

Перш ніж зайнятися переведенням із будь-якої системи числення в двійкову, потрібно уважно вивчити приклад запису числа в двійковій системі числення:

Якщо Вам не потрібно заглиблюватись у теорію, а потрібно лише отримати результат, то скористайтесь Калькулятор онлайн Переклад цілих чисел з десяткової системи числення до інших систем .

Вісімкова та шістнадцяткова системи числення

Ці системи числення відносяться до двійково-кодованих, в яких основа системи числення є цілим ступенем двійки: - для вісімкової і - для шістнадцяткової.

У восьмеричній системі числення ( s= 8) використовуються 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Перш ніж зайнятися переведенням з будь-якої системи числення у вісімкову, потрібно уважно вивчити приклад запису числа у вісімковій системі:

У шістнадцятковій системі числення ( s= 16) використовуються 16 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Приклад запису числа у шістнадцятковій системі:

Широке застосування вісімкової та шістнадцяткової систем числення обумовлено двома факторами.

По-перше, ці системи дозволяють замінити запис двійкового числа компактнішим уявленням (запис числа у вісімковій і шістнадцятковій системах буде відповідно в 3 і 4 рази коротше двійкового запису цього числа). По-друге, взаємне перетворення чисел між двійковою системою з одного боку та восьмеричною та шістнадцятирічною – з іншого здійснюється порівняно просто. Дійсно, оскільки для вісімкового числа кожен розряд представляється групою з трьох двійкових розрядів (тріад), а для шістнадцяткового - групою з чотирьох двійкових розрядів (зошит), то для перетворення двійкового числа достатньо об'єднати його цифри в групи по 3 або 4 розряди відповідно, просуваючись від розділової коми вправо та вліво. При цьому, у разі потреби, додають нулі ліворуч від цілої частини та/або праворуч від дробової частини та кожну таку групу - тріаду або зошит - замінюють евівалентною восьмеричною або шістнадцятковою цифрою (див. таблицю).

Якщо Вам не потрібно заглиблюватись у теорію, а потрібно лише отримати результат, то скористайтесь Калькулятор онлайн Переклад цілих чисел з десяткової системи числення до інших систем .

Відповідність між цифрами у різних системах числення

DEC	BIN	OCT	HEX	BCD
0	0000	0	0	0000
1	0001	1	1	0001
2	0010	2	2	0010
3	0011	3	3	0011
4	0100	4	4	0100
5	0101	5	5	0101
6	0110	6	6	0110
7	0111	7	7	0111
8	1000	10	8	1000
9	1001	11	9	1001
10	1010	12	A	0001 0000
11	1011	13	B	0001 0001
12	1100	14	C	0001 0010
13	1101	15	D	0001 0011
14	1110	16	E	0001 0100
15	1111	17	F	0001 0101

Для зворотного перекладу кожна OCT або HEX цифра замінюється відповідно тріадою або зошитом двійкових цифр, причому нулі, що незначні, зліва і праворуч відкидаються.

Для розглянутих раніше прикладів це виглядає так:

Якщо Вам не потрібно заглиблюватись у теорію, а потрібно лише отримати результат, то скористайтесь Калькулятор онлайн Переклад цілих чисел з десяткової системи числення до інших систем .

Двійково-десяткова система числення

У двійково-десятковій системі вага кожного розряду дорівнює ступеню 10, як у десятковій системі, а кожна десяткова цифра кодується чотирма двійковими цифрами. Для запису десяткового числа в BCD-системі достатньо замінити кожну десяткову цифру еквівалентною чотирирозрядною двійковою комбінацією:

Будь-яке десяткове число можна представити в двійково-десятковому записі, але слід пам'ятати, що це не двійковий еквівалент числа. Це видно з наступного прикладу:

Переведення чисел з однієї системи числення до іншої

Нехай X- Число в системі числення з основою s, яке потрібно представити в системі з основою h. Зручно розрізняти два випадки.

У першому випадку і, отже, при переході до основи hможна використовувати арифметику цієї системи. Метод перетворення полягає у поданні числа у вигляді багаточлена за ступенями s, а також у обчисленні цього багаточлена за правилами арифметики системи обчислення з основою h. Так, наприклад, зручно переходити від двійкової або вісімкової системи числення до десяткової. Описаний прийом ілюструють такі приклади:

.

.

В обох випадках арифметичні дії виконуються за правилами обчислення з підставою 10.

У другому випадку () зручніше користуватися арифметикою на основі s. Тут слід враховувати, що переведення цілих чисел і правильних дробів здійснюється за різними правилами. При перекладі змішаних дробів ціла і дробова частини переводяться кожна за своїми правилами, після чого отримані числа записуються через кому.

Переклад цілих чисел

Правила перекладу цілих чисел стає ясним із загальної формули запису числа у довільній позиційній системі. Нехай число у вихідній системі числення sмає вигляд . Потрібно отримати запис числа в системі числення з основою h:

.

Для знаходження значень розділимо цей багаточлен на h:

.

Як видно, молодший розряд, тобто дорівнює першому залишку. Наступний значний розряд визначається поділом приватного на h:

.

Інші також обчислюються шляхом поділу приватних до того часу, поки стане рівним нулю.

Для перекладу цілого числа з s-їчної системи числення в h-ічну необхідно послідовно ділити це число та одержувані приватні на h (за правилами системи числення з основою h) до тих пір, поки приватне не стане рівним нулю. Старшою цифрою в записі числа з основою h служить останній залишок, а наступні за нею цифри утворюють залишки від попередніх поділів, що виписуються в послідовності, зворотній їхньому отриманню.

Калькулятор дозволяє переводити цілі та дробові числа з однієї системи числення до іншої. Підстава системи числення може бути менше 2 і більше 36 (10 цифр і 26 латинських букв все-таки). Довжина чисел не повинна перевищувати 30 символів. Використовуйте символ для введення дробових чисел. або, . Щоб перевести число з однієї системи в іншу, введіть вихідне число в перше поле, основу вихідної системи числення в друге та основу системи числення, в яку потрібно перевести число, в третє поле, після чого натисніть кнопку "Отримати запис".

Початкове число записано в 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 -ой системі числення.

Хочу отримати запис числа в 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ой системі числення.

Отримати запис

Виконано перекладів: 3036712

Також може бути цікаво:

• Калькулятор таблиці істинності. СДНФ. СКНФ. Поліном Жегалкіна

Системи числення

Системи числення поділяються на два типи: позиційніі не позиційні. Ми користуємося арабською системою, вона є позиційною, а є ще римська – вона якраз не позиційна. У позиційних системах становище цифри у числі однозначно визначає значення цього числа. Це легко зрозуміти, розглянувши на прикладі якогось числа.

Приклад 1. Візьмемо число 5921 у десятковій системі числення. Пронумеруємо число праворуч наліво починаючи з нуля:

Число 5921 можна записати в наступному вигляді: 5921 = 5000 +900 +20 +1 = 5 · 10 3 +9 · 10 2 +2 · 10 1 +1 · 10 0 . Число 10 є характеристикою, що визначає систему числення. В якості ступенів взято значення позиції даного числа.

Приклад 2. Розглянемо дійсне десяткове число 1234.567. Пронумеруємо його починаючи з нульової позиції числа від десяткової точки вліво та вправо:

Число 1234.567 можна записати в наступному вигляді: 1234.567 = 1000+200+30+4+0.5+0.06+0.007 = 1·10 3 +2·10 2 +3·10 1 +4·10 0 +5·10 -1 + 6·10 -2 +7·10 -3 .

Переведення чисел з однієї системи числення до іншої

Найбільш простим способом переведення числа з однієї системи числення в іншу є переклад числа спочатку в десяткову систему числення, а потім, отриманого результату в необхідну систему числення.

Переказ чисел з будь-якої системи числення до десяткової системи числення

Для переведення числа з будь-якої системи числення в десяткову достатньо пронумерувати його розряди, починаючи з нульового (розряд зліва від десяткової точки) аналогічно прикладам 1 або 2.

1. Перевести число 1001101.1101 2 в десяткову систему числення.
Рішення: 10011.1101 2 = 1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +1·2 0 +1·2 -1 +1·2 -2 +0·2 -3 +1·2 - 4 = 16 +2 +1 +0.5 +0.25 +0.0625 = 19.8125 10
Відповідь: 10011.1101 2 = 19.8125 10

2. Перевести число E8F.2D 16 в десяткову систему числення.
Рішення: E8F.2D 16 = 14·16 2 +8·16 1 +15·16 0 +2·16 -1 +13·16 -2 = 3584+128+15+0.125+0.05078125 = 3727.17578125 10
Відповідь: E8F.2D 16 = 3727.17578125 10

Переклад чисел із десяткової системи числення в іншу систему числення

Для переведення чисел із десяткової системи числення в іншу систему числення цілу та дробову частини числа потрібно переводити окремо.

Переклад цілої частини числа з десяткової системи числення до іншої системи числення

Ціла частина переводиться з десяткової системи числення в іншу систему числення за допомогою послідовного поділу цілої частини числа на основу системи числення до отримання цілого залишку, меншої основи системи числення. Результатом перекладу буде запис із залишків, починаючи з останнього.

3. Перевести число 273 10 у восьмирічну систему числення.
Рішення: 273/8 = 34 і залишок 1, 34/8 = 4 і залишок 2, 4 менший за 8, тому обчислення завершено. Запис із залишків матиме такий вигляд: 421
Перевірка: 4 · 8 2 +2 · 8 1 +1 · 8 0 = 256 +16 +1 = 273 = 273, результат збігся. Отже переклад виконано правильно.
Відповідь: 273 10 = 421 8

Розглянемо переведення правильних десяткових дробів у різні системи числення.

Переведення дробової частини числа з десяткової системи числення до іншої системи числення

Нагадаємо, правильним десятковим дробом називається речове число з нульовою цілою частиною. Щоб перевести таке число в систему числення з основою N потрібно послідовно множити число на N до тих пір, поки дробова частина не обнулиться або не буде отримана необхідна кількість розрядів. Якщо при множенні виходить число з цілою частиною, відмінне від нуля, то ціла частина далі не враховується, оскільки послідовно заноситься до результату.

4. Перевести число 0.125 10 в двійкову систему числення.
Рішення: 0.125·2 = 0.25 (0 - ціла частина, яка стане першою цифрою результату), 0.25·2 = 0.5 (0 - друга цифра результату), 0.5·2 = 1.0 (1 - третя цифра результату, оскільки дробова частина дорівнює нулю , то переклад завершено).
Відповідь: 0.125 10 = 0.001 2

Основні поняття систем числення

Система числення – це сукупність правил і прийомів запису чисел за допомогою набору цифрових знаків. Кількість цифр, необхідні запису числа у системі, називають основою системи числення. Основа системи записується праворуч числа в нижньому індексі: ; ; і т.д.

Розрізняють два типи систем числення:

позиційні, коли значення кожної цифри числа визначається її позицією запису числа;

непозиційні, коли значення цифри у числі залежить від її місця у записі числа.

Прикладом непозиційної системи числення є римська: числа IX, IV, XV тощо. Прикладом позиційної системи числення є десяткова система, що використовується повсякденно.

Будь-яке ціле число у позиційній системі можна записати у формі багаточлена:

де S - основа системи числення;

Цифри числа, записаного у цій системі числення;

n – кількість розрядів числа.

приклад. Число запишеться у формі багаточлена наступним чином:

Види систем числення

Римська система числення є непозиційною системою. У ньому для запису чисел використовуються літери латинського алфавіту. У цьому буква I завжди означає одиницю, буква - V п'ять, X - десять, L - п'ятдесят, C - сто, D - п'ятсот, M - тисячу тощо. Наприклад, число 264 записується як CCLXIV. При записі чисел у римській системі числення значенням числа є алгебраїчна сума цифр, що до нього входять. При цьому цифри в записі числа слідують, як правило, в порядку зменшення їх значень, і не дозволяється записувати поряд більше трьох однакових цифр. У тому випадку, коли за цифрою з більшим значенням слідує цифра з меншим, її внесок у значення числа в цілому є негативним. Типові приклади, що ілюструють загальні правила запису чисел у римській системі числення, наведені в таблиці.

Таблиця 2. Запис чисел у римській системі числення

		III
	VII	VIII
	XIII	XVIII	XIX	XXII
XXXIV	XXXIX			XCIX
200	438	649	999	1207
	CDXXXVIII	DCXLIX	CMXCIX	MCCVII
2045	3555	3678	3900	3999
MMXLV	MMMDLV	MMMDCLXXVIII	MMMCM	MMMCMXCIX

Недоліком римської системи є формальних правил запису чисел і, відповідно, арифметичних дій з багатозначними числами. Через незручність і велику складність в даний час римська система числення використовується там, де це дійсно зручно: в літературі (нумерація розділів), в оформленні документів (серія паспорта, цінних паперів та ін), в декоративних цілях на циферблаті годинника і в ряді інших випадків.

Десятичня система числення – нині найвідоміша і використовувана. Винахід десяткової системи числення відноситься до головних здобутків людської думки. Без неї навряд чи могла існувати, тим більше виникнути сучасна техніка. Причина, через яку десяткова система числення стала загальноприйнятою, зовсім не математична. Люди звикли рахувати в десятковій системі числення, бо мають по 10 пальців на руках.

Давнє зображення десяткових цифр (рис. 1) невипадково: кожна цифра позначає число за кількістю кутів у ній. Наприклад, 0 – кутів немає, 1 – один кут, 2 – два кути і т.д. Написання десяткових цифр зазнало суттєвих змін. Форма, якою ми користуємося, встановилася у XVI столітті.

Десяткова система вперше з'явилася в Індії приблизно у VI столітті нової ери. Індійська нумерація використовувала дев'ять числових символів та нуль для позначення порожньої позиції. У ранніх індійських рукописах, що дійшли до нас, цифри записувалися у порядку - найбільш значуща цифра ставилася справа. Але незабаром стало правилом розташовувати таку цифру з лівого боку. Особливого значення надавалося нульовому символу, який вводився для позиційної системи позначень. Індійська нумерація, включаючи нуль, дійшла до нашого часу. У Європі індуські прийоми десяткової арифметики набули поширення на початку ХIII ст. завдяки роботам італійського математика Леонардо Пізанського (Фібоначчі). Європейці запозичили індійську систему числення в арабів, назвавши її арабською. Ця історично неправильна назва утримується й досі.

Десяткова система використовує десять цифр – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 та 9, а також символи “+” та “–” для позначення знака числа та кому або точку для поділу цілої та дробової частин числа.

У обчислювальних машинах використовується двійкова система числення, її основа - число 2. Для запису чисел у цій системі використовують лише дві цифри - 0 і 1. Всупереч поширеній помилці, двійкова система числення була придумана не інженерами-конструкторами ЕОМ, а математиками та філософами задовго до появи комп'ютерів, ще у ХVII – ХIХ століттях. Перше опубліковане обговорення двійкової системи числення належить іспанському священику Хуану Карамюелю Лобковіцу (1670). Загальну увагу до цієї системи привернула стаття німецького математика Готфріда Вільгельма Лейбніца, опублікована в 1703 р. У ній пояснювалися двійкові операції складання, віднімання, множення та поділу. Лейбніц не рекомендував використовувати цю систему для практичних обчислень, але наголошував на її важливості для теоретичних досліджень. Згодом двійкова система числення стає добре відомою і набуває розвитку.

Вибір двійкової системи до застосування в обчислювальної техніки пояснюється лише тим, що електронні елементи - тригери, у тому числі складаються мікросхеми ЕОМ, можуть бути лише у двох робочих станах.

За допомогою двійкової системи кодування можна зафіксувати будь-які дані та знання. Це легко зрозуміти, якщо згадати принцип кодування та передачі інформації за допомогою абетки Морзе. Телеграфіст, використовуючи лише два символи цієї абетки – крапки та тире, може передати практично будь-який текст.

Двійкова система зручна для комп'ютера, але незручна для людини: числа виходять довгими і важко записувати і запам'ятовувати. Звичайно, можна перевести число в десяткову систему і записувати в такому вигляді, а потім, коли знадобиться перевести назад, але всі ці трудомісткі переклади. Тому застосовуються системи числення, споріднені двійковою – вісімкова та шістнадцяткова. Для запису чисел у цих системах потрібно відповідно 8 та 16 цифр. У 16-терічній перші 10 цифр загальні, а далі використовують великі латинські літери. Шістнадцяткова цифра A відповідає десятковому числу 10, шістнадцяткова B – десятковому числу 11 і т. д. Використання цих систем пояснюється тим, що перехід до запису числа в будь-якій із цих систем від його двійкового запису дуже простий. Нижче наведено таблицю відповідності чисел, записаних у різних системах.

Таблиця 3. Відповідність чисел, записаних у різних системах числення

Десяткова	Двійкова	Вісімкова	Шістнадцяткова
	001
	010
	011
	100
	101
	110
	111
	1000
	1001
	1010
	1011
	1100
	1101		D http://viagrasstore.net/generic-viagra-soft/
	1110
	1111
	10000

Правила переведення чисел з однієї системи числення до іншої

Переведення чисел з однієї системи числення до іншої становить важливу частину машинної арифметики. Розглянемо основні правила перекладу.

1. Для переведення двійкового числа до десяткового необхідно його записати у вигляді багаточлена, що складається з творів цифр числа та відповідного ступеня числа 2, та обчислити за правилами десяткової арифметики:

При перекладі зручно користуватися таблицею ступенів двійки:

Таблиця 4. Ступені числа 2

n (ступінь)
											1024

приклад. Число перевести до десяткової системи числення.

2. Для переведення восьмеричного числа до десяткового необхідно його записати у вигляді багаточлена, що складається з творів цифр числа та відповідного ступеня числа 8, та обчислити за правилами десяткової арифметики:

При перекладі зручно користуватися таблицею ступенів вісімки:

Таблиця 5. Ступені числа 8

n (ступінь)

Системи числення, що застосовуються у цифрових ЕОМ

У ЕОМ застосовуються такі системи числення:

1. Двійкова система числення - як робочої;

2. Десятична система числення - для запису вихідної інформації та видачі результатів;

3. Вісімкова система числення;

4. Шістнадцяткова система числення;

5. Змішана (двійково-десяткова) система числення.

Восьмерична та шістнадцяткова система числення є допоміжними. Вони застосовуються під час підготовки завдань до вирішення (програмування мовами асемблері, машинному та інших.). Дані системи зручні тим, що 8-річний запис якого-небудь числа втричі коротший за його двійковий запис, а 16-річний запис - у чотири рази. Що стосується переведення чисел з однієї системи в іншу, а саме за схемами 82, 28, 162, 216, то він не викликає будь-яких труднощів і може виконуватися чисто механічним шляхом.

Двійково-десяткова система численнятакож є допоміжною тавикористовується, переважно, для зберігання десяткових чисел у пам'яті ЕОМ. Запис десяткових чисел у двійково-десятковій с.с. здійснюється в такий спосіб. Кожна цифра десяткового числа записується її бінарним еквівалентом. Для такого запису потрібно не більше чотирьох двійкових розрядів. Чотиризначне двійкове число, що зображує десяткову цифру, називається зошитом.

Для того щоб деяке десяткове число подати в двійково-десятковій формі, необхідно кожну його цифру записати відповідним зошити. Візьмемо, наприклад, десяткове число 3795,28 і запишемо його у двійково-десятковому вигляді:

0011 0111 1001 0101, 0010 1000

Т.ч., десяткове число 3795,28 матиме такий двійково-десятковий запис: 0011011110010101,00101000.

Перехід від десяткового до двійково-десяткового запису проводиться, як бачимо, елементарно і не вимагає будь-яких обчислень.

Для зворотного перекладу (від двійково-десяткового запису до десяткового) необхідно двійково-десяткове число вліво і вправо від коми розбити на четвірки цифр (зошити), а потім кожну з них записати десятковою цифрою, що відповідає їй.

Нехай, наприклад, дано двійково-десяткове число: 010110000110,00110111

Розіб'ємо його на зошити і замінимо кожен зошит десятковою цифрою:

0101 1000 0110, 0011 0111 = 586,37.

Загальне правило перекладу цілих чисел. Для переведення цілого числа з однієї позиційної системи числення до іншої, його треба послідовно розділитина підставу тієї системи, в яку воно переводиться. Розподіл проводиться до того часу, доки отримаємо приватне, менше q. Число в новій системі числення запишеться у вигляді залишківподілу, починаючи з останнього. Останнє дає старшу цифру числа. Переклад проводиться в тій системі числення з якої перекладаємо.

Коли займаєшся налаштуваннями мереж різного масштабу і щодня стикаєшся з обчисленнями – то такі шпаргалки заводити не обов'язково, все й так робиться на безумовному рефлексі. Але коли в мережах колупаєшся дуже рідко, то не завжди згадаєш яка там маска в десятковій формі для префікса 21 або яка адреса мережі при цьому ж префіксі. У зв'язку з цим я і вирішив написати кілька маленьких статей-шпаргалок з переведенням чисел до різних систем числення, мережевих адрес, масок і т.п. У цій частині йтиметься про переведення чисел у різні системи численнь.

1. Системи числення

Коли ви займаєтеся чимось пов'язаним з комп'ютерними мережами та ІТ, ви по будь-якому зіткнетеся з цим поняттям. І як тямущий ІТ-шник вам потрібно розбиратися в цьому хоча б трохи навіть якщо на практиці ви це будете застосовувати дуже рідко.
Розглянемо переклад кожної цифри з IP-адреси 98.251.16.138 у такі системи обчислень:

• Двійкова
• Вісімкова
• Десяткова
• Шістнадцяткова

1.1 Десяткова

Так як цифри записані в десятковій, переклад з десяткової в десяткову пропустимо 🙂

1.1.1 Десяткова → Двійкова

Як ми знаємо двійкова система числення використовується практично у всіх сучасних комп'ютерах та багатьох інших обчислювальних пристроях. Система дуже проста – у нас є лише 0 та 1.
Для перетворення числа з десятиною в двійкову форму потрібно використовувати розподіл за модулем 2 (тобто цілечисленне розподіл на 2) в результаті чого ми завжди матимемо в залишку або 1, або 0. При цьому результат записуємо праворуч наліво. Приклад все поставить на свої місця:

Малюнок 1.1 – Переведення чисел із десяткової до двійкової системи

Малюнок 1.2 – Переведення чисел із десяткової до двійкової системи

Опишу розподіл числа 98. Ми ділимо 98 на 2, в результаті маємо 49 і залишок 0. Далі продовжуємо розподіл і ділимо 49 на 2, в результаті маємо 24 з залишком 1. І таким же чином добираємося до 1-ки або 0-ка в ділимо. Потім результат записуємо праворуч наліво.

1.1.2 Десятичне → Вісімкове

Восьмерична система – це цілочислова система числення з основою 8. Тобто. всі числа в ній представлені діапазоном 0 - 7 і для перекладу з десяткової системи необхідно використовувати поділ за модулем 8.

Малюнок 1.3 – Переведення чисел із десяткової у вісімкову систему

Розподіл аналогічно 2-чної системи.

1.1.3 Десяткова → Шістнадцяткова

Шістнадцяткова система майже повністю витіснила вісімкову систему. Вона має основу 16, але використовуються десяткові цифри від 0 до 9 + латинські літери від A(число 10) до F(число 15). З нею ви стикаєтеся щоразу, коли перевіряєте налаштування мережного адаптера - це МАС-адреса. Також, коли використовується IPv6.

Малюнок 1.4 – Переведення чисел із десяткової до шістнадцяткової системи

1.2 Двійкова

У попередньому прикладі ми перевели всі десяткові числа до інших систем числення, одна з яких двійкова. Тепер переведемо кожне число з двійкової форми.

1.2.1 Двійкова → Десятична

Для переведення чисел із двійкової форми до десяткової потрібно знати два нюанси. Перший – у кожного нулика і одиниці є множник 2 в n-му ступені, при якому n збільшується праворуч наліво рівно на одиницю. Другий – після перемноження усі числа потрібно скласти і ми отримаємо число у десятковій формі. У підсумку ми матимемо формулу такого виду:

D = (a n × p n-1) + (a n-1 × p n-2) + (a n-2 × p n-3) +…, (1.2.1)

Де,
D – це число у десятковій формі, яке ми шукаємо;
n– кількість символів у двійковому числі;
a – число в двійковій формі на n-й позиції (тобто перший символ, другий тощо);
p - коефіцієнт, рівний 2,8 або 16 у ступені n(залежно від системи числення)

Наприклад, візьмемо число 110102. Дивимося на формулу і записуємо:

• Число складається з 5 символів ( n=5)

a 5 = 1, a 4 = 1, a 3 = 0, a 2 = 1, a 1 = 0

• p = 2 (оскільки переводимо з двійкової до десяткової)

У результаті маємо:

D = (1 × 2 5-1) + (1 × 2 5-2) + (0 × 2 5-3) + (1 × 2 5-4) + (0 × 2 5-5) = 16 + 8 + 0 + 2 + 0 = 26 10

Хто звик записувати праворуч на ліво, форму виглядатиме так:

D = (0 × 2 5-5) + (1 × 2 5-4) + (0 × 2 5-3) + (1 × 2 5-2) + (1 × 2 5-1) = 0 + 2 + 0 + 8 + 16 = 26 10

Але, як знаємо, від перестановки доданків сума змінюється. Давайте тепер переведемо наші числа до десяткової форми.

Рисунок 1.5 – Переведення чисел із двійкової до десяткової системи

1.2.2 Двійкова → Вісімкова

При перекладі нам потрібно двійкове число розбити на групи по три символи праворуч наліво. Якщо остання група не складається з трьох символів, то ми просто відшкодовуємо недостатні біти нуліками. Наприклад:

10101001 = 0 10 101 001

1011100 = 00 1 011 100

Кожна група бітів – це одне із вісімкових чисел. Щоб дізнатися, яке потрібно використовувати написану вище формулу 1.2.1 для кожної групи бітів. В результаті ми отримаємо.

Малюнок 1.6 – Переведення чисел із двійкової у вісімкову систему

1.2.3 Двійкова → Шістнадцяткова

Тут нам потрібно двійкове число розбивати на групи по чотири символи праворуч наліво з наступним доповненням бітів групи, що відсутні, ноликами, як писалося вище. Якщо остання група складається з нуликів, їх потрібно ігнорувати.

110101011 = 000 1 1010 1011

1011100 = 0 101 1100

001010000 = 00 0101 0000 = 0101 0000

Кожна група бітів – це одне із шістнадцяткових чисел. Використовуємо формулу 1.2.1 кожної групи бітів.

Малюнок 1.7 – Переведення чисел із двійкової до шістнадцяткової системи

1.3 Вісімкова

У цій системі у нас можуть виникнути складності тільки при переведенні в 16-річну систему, оскільки решта перекладу проходить гладко.

1.3.1 Вісімкова → Двійкова

Кожне число у вісімковій системі – це група із трьох бітів у двійковій системі, як писалося вище. Для перекладу нам потрібно скористатися табличкою-шпаргалкою:

Малюнок 1.8 – Шпора з переведення чисел із вісімкової системи

Використовуючи цю табличку, переведемо наші числа в двійкову систему.

Рисунок 1.9 – Переведення чисел із вісімкової до двійкової системи

Трохи опишу висновок. Перше число у нас 142, отже, буде три групи по три біти в кожній. Юзаємо шпору і бачимо, що цифра 1 це 001, цифра 4 це 100 і цифра 2 це 010. У результаті маємо число 001100010.

1.3.2 Восьмирічна → Десятична

Тут ми використовуємо формулу 1.2.1 лише з коефіцієнтом 8 (тобто p = 8). В результаті маємо

Малюнок 1.10 – Переведення чисел із вісімкової до десятичної системи

• Число складається з 3 символів ( n=3)

a 3 = 1, a 2 = 4, a 1 = 2

• p = 8 (оскільки переводимо з вісімкової в десяткову)

В результаті маємо:

D = (1 × 8 3-1) + (4 × 8 3-2) + (2 × 8 3-3) = 64 + 32 + 2 = 98 10

1.3.3 Вісімкова → Шістнадцяткова

Як писалося раніше, для перекладу нам потрібно спочатку перевести числа в двійкову систему, потім з двійковою в шістнадцяткову, поділивши на групи по 4 біти. Можна використовувати наступну шпору.

Малюнок 1.11 – Шпора з перекладу чисел із шістнадцяткової системи

Ця табличка допоможе перевести з двійкової до шістнадцяткової системи. Тепер переведемо наші числа.

Малюнок 1.12 – Переведення чисел із вісімкової до шістнадцяткової системи

1.4 Шістнадцяткова

У цій системі та сама проблема, при переведенні у вісімкову. Але про це згодом.

1.4.1 Шістнадцяткова → Двійкова

Кожне число у шістнадцятковій системі – це група з чотирьох бітів у двійковій системі, як писалося вище. Для перекладу нам можна скористатися табличкою-шпаргалкою, яка знаходиться вище. В результаті:

Малюнок 1.13 – Переведення чисел із шістнадцяткового в двійкову систему

Візьмемо перше число – 62. Використовуючи табличку (рис. 1.11) бачимо, що 6 це 0110, 2 це 0010, у результаті маємо число 01100010.

1.4.2 Шістнадцяткова → Десятична

Тут ми використовуємо формулу 1.2.1 лише з коефіцієнтом 16 (тобто p=16). В результаті маємо

Малюнок 1.14 – Переведення чисел із шістнадцяткової до десятичної системи

Візьмемо перше число. Виходячи з формули 1.2.1:

• Число складається з 2 символів ( n=2)

a 2 = 6, a 1 = 2

• p = 16 (оскільки переводимо з шістнадцяткової в десяткову)

У результаті маємо.

D = (6 × 16 2-1) + (2 × 16 2-2) = 96 + 2 = 98 10

1.4.3 Шістнадцяткова → Вісімкова

Для переведення у вісімкову систему потрібно спочатку перевести в двійкову, потім розбити на групи по 3 біти і скористатися табличкою (рис. 1.8). В результаті:

Малюнок 1.15 – Переведення чисел із шістнадцяткової у вісімкову систему

Піде мова про IP-адреси, маски і мережі.