Norėdami konvertuoti skaičius iš vienos skaičių sistemos į kitą, turite turėti pagrindinę informaciją apie skaičių sistemas ir skaičių vaizdavimo jose formą.

Kiekis s Skaičių sistemoje naudojamas skirtingų skaitmenų skaičius vadinamas baze arba skaičių sistemos pagrindu. Apskritai teigiamas skaičius X padėties sistemoje su pagrindu s gali būti pavaizduotas kaip daugianomas:

Kur s- skaičių sistemos pagrindas, - tam tikroje skaičių sistemoje leidžiami skaičiai. Seka sudaro visą dalį X, o seka yra trupmeninė dalis X.

Skaičiavimuose plačiausiai naudojamos dvejetainės (BIN – dvejetainės) ir dvejetainės koduotų skaičių sistemos: aštuntainė (OCT – aštuntainė), šešioliktainė (HEX – šešioliktainė) ir dvejetainė koduota dešimtainė (BCD – dvejetainė koduota dešimtainė).

Ateityje, norint nurodyti naudojamą skaičių sistemą, skaičius bus rašomas skliausteliuose, o indeksas nurodys sistemos pagrindą. Skaičius X remiantis s bus nurodyta.

Dvejetainių skaičių sistema

Skaičių sistemos pagrindas yra skaičius 2 ( s= 2) ir skaičiams rašyti naudojami tik du skaitmenys: 0 ir 1. Norint pavaizduoti bet kurį dvejetainio skaičiaus skaitmenį, pakanka turėti fizinį elementą su dviem aiškiai skirtingomis stabiliomis būsenomis, iš kurių viena reiškia 1, o kita 0 .

Prieš pradėdami konvertuoti iš bet kurios skaičių sistemos į dvejetainę, turite atidžiai išstudijuoti skaičiaus rašymo dvejetainėje skaičių sistemoje pavyzdį:

Jei jums nereikia gilintis į teoriją, o tiesiog reikia gauti rezultatą, tada naudokite Internetinis skaičiuotuvas Sveikųjų skaičių konvertavimas iš dešimtainių skaičių sistemos į kitas sistemas .

Aštuntainės ir šešioliktainės skaičių sistemos

Šios skaičių sistemos yra koduojamos dvejetainiu būdu, kai skaičių sistemos pagrindas yra sveikasis skaičius dviejų: - aštuntainei ir - šešioliktainei.

Aštuntainių skaičių sistemoje ( s= 8) Naudojami 8 skaitmenys: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Prieš pradėdami konvertuoti iš bet kurios skaičių sistemos į aštuntainę, turite atidžiai išstudijuoti skaičiaus rašymo aštuntainėje sistemoje pavyzdį:

Šešioliktainėje skaičių sistemoje ( s= 16) Naudojama 16 skaitmenų: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Skaičiaus rašymo šešioliktaine forma pavyzdys:

Aštuntainių ir šešioliktainių skaičių sistemos plačiai naudojamos dėl dviejų veiksnių.

Pirma, šios sistemos leidžia pakeisti dvejetainio skaičiaus žymėjimą kompaktiškesniu vaizdavimu (skaičiaus žymėjimas aštuntainėje ir šešioliktainėje sistemoje bus atitinkamai 3 ir 4 kartus trumpesnis nei dvejetainis šio skaičiaus žymėjimas). Antra, abipusis skaičių konvertavimas tarp dvejetainės sistemos ir aštuntainės bei šešioliktainės sistemos yra gana paprastas. Iš tiesų, kadangi aštuntajam skaičiui kiekvienas skaitmuo yra pavaizduotas trijų dvejetainių skaitmenų (triadų) grupe, o šešioliktainio skaičiaus - keturių dvejetainių skaitmenų (tetradų) grupe, tada, norint konvertuoti dvejetainį skaičių, pakanka sujungti jos skaitmenys atitinkamai suskirstomi į 3 arba 4 skaitmenų grupes, pereinant nuo kablelio į dešinę ir į kairę. Tokiu atveju, jei reikia, sveikosios dalies kairėje ir (arba) trupmeninės dalies dešinėje pridedami nuliai ir kiekviena tokia grupė – triada arba tetrada – pakeičiama lygiaverčiu aštuntainiu arba šešioliktainiu skaitmeniu (žr. lentelę).

Jei jums nereikia gilintis į teoriją, o tiesiog reikia gauti rezultatą, tada naudokite Internetinis skaičiuotuvas Sveikųjų skaičių konvertavimas iš dešimtainių skaičių sistemos į kitas sistemas .

Skirtingų skaičių sistemų skaitmenų atitikimas

DEC	BIN	SPAL	HEX	BCD
0	0000	0	0	0000
1	0001	1	1	0001
2	0010	2	2	0010
3	0011	3	3	0011
4	0100	4	4	0100
5	0101	5	5	0101
6	0110	6	6	0110
7	0111	7	7	0111
8	1000	10	8	1000
9	1001	11	9	1001
10	1010	12	A	0001 0000
11	1011	13	B	0001 0001
12	1100	14	C	0001 0010
13	1101	15	D	0001 0011
14	1110	16	E	0001 0100
15	1111	17	F	0001 0101

Atvirkštinio vertimo atveju kiekvienas UŠT arba HEX skaitmuo atitinkamai pakeičiamas dvejetainių skaitmenų triada arba tetrada, o nereikšmingi nuliai kairėje ir dešinėje atmetami.

Anksčiau aptarti pavyzdžiai atrodo taip:

Jei jums nereikia gilintis į teoriją, o tiesiog reikia gauti rezultatą, tada naudokite Internetinis skaičiuotuvas Sveikųjų skaičių konvertavimas iš dešimtainių skaičių sistemos į kitas sistemas .

Dvejetainė dešimtainių skaičių sistema

BCD sistemoje kiekvieno skaitmens svoris lygus 10 laipsniui, kaip ir dešimtainėje sistemoje, o kiekvienas dešimtainis skaitmuo yra užkoduotas keturiais dvejetainiais skaitmenimis. Norint įrašyti dešimtainį skaičių BCD sistemoje, pakanka kiekvieną dešimtainį skaitmenį pakeisti lygiaverčiu keturių skaitmenų dvejetainiu deriniu:

Bet koks dešimtainis skaičius gali būti pavaizduotas BCD žymėjimu, tačiau atminkite, kad tai nėra dvejetainis skaičiaus atitikmuo. Tai matyti iš šio pavyzdžio:

Skaičių konvertavimas iš vienos skaičių sistemos į kitą

Leisti X- skaičius skaičių sistemoje su baze s, kurį reikia pavaizduoti sistemoje su pagrindu h. Patogu atskirti du atvejus.

Pirmuoju atveju, taigi ir perkeliant į bazę h galite naudoti šios sistemos aritmetiką. Konvertavimo metodas susideda iš skaičiaus pavaizdavimo kaip daugianario laipsniais s, taip pat skaičiuojant šį daugianarį pagal radikso skaičių sistemos aritmetikos taisykles h. Pavyzdžiui, patogu iš dvejetainių ar aštuntųjų skaičių sistemos pereiti prie dešimtainių skaičių sistemos. Apibūdinta technika iliustruojama šiais pavyzdžiais:

.

.

Abiem atvejais aritmetiniai veiksmai atliekami pagal bazinės 10 skaičių sistemos taisykles.

Antruoju atveju () patogiau naudoti radikso aritmetiką s. Čia reikėtų atsižvelgti į tai, kad sveikųjų skaičių ir tinkamų trupmenų vertimas atliekamas pagal skirtingas taisykles. Verčiant mišrias trupmenas, sveikoji ir trupmeninė dalys verčiamos kiekviena pagal savo taisykles, po to gaunami skaičiai rašomi atskiriant kableliais.

Sveikųjų skaičių konvertavimas

Sveikųjų skaičių konvertavimo taisyklės paaiškėja iš bendrosios skaičiaus rašymo savavališkoje pozicinėje sistemoje formulės. Tegul skaičius yra pradinėje skaičių sistemoje s atrodo kaip . Turite gauti skaičių, parašytą skaičių sistemoje su baze h:

.

Norėdami rasti reikšmes, padalykite šį daugianarį iš h:

.

Kaip matote, mažiausiai reikšmingas skaitmuo, tai yra, yra lygus pirmajai likučiai. Kitas reikšmingas skaitmuo nustatomas dalinį padalijus iš h:

.

Likusieji taip pat apskaičiuojami dalijant koeficientus, kol jie bus lygūs nuliui.

Norint paversti sveikąjį skaičių iš s-arinės skaičių sistemos į h-arinę skaičių sistemą, reikia šį skaičių ir gautus dalinius nuosekliai padalyti iš h (pagal skaičių sistemos su baze h taisykles), kol dalinys taps lygus nuliui. Reikšmingiausias skaitmuo žymint skaičių su baze h yra paskutinė liekana, o po jo esantys skaitmenys sudaro liekanas iš ankstesnių dalybų, parašytų atvirkštine jų gavimo tvarka.

Skaičiuoklė leidžia konvertuoti sveikuosius ir trupmeninius skaičius iš vienos skaičių sistemos į kitą. Skaičių sistemos pagrindas negali būti mažesnis nei 2 ir didesnis nei 36 (juk 10 skaitmenų ir 26 lotyniškos raidės). Skaičių ilgis neturi viršyti 30 simbolių. Norėdami įvesti trupmeninius skaičius, naudokite simbolį. arba,. Norėdami konvertuoti skaičių iš vienos sistemos į kitą, pirmame lauke įveskite pradinį skaičių, antrame – pradinės skaičių sistemos pagrindą, o trečiame lauke – skaičių sistemos, į kurią norite konvertuoti skaičių, bazę, tada spustelėkite mygtuką „Gauti įrašą“.

Originalus numeris parašyta 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 - numerių sistema.

Noriu įrašyti numerį 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 - numerių sistema.

Gaukite įėjimą

Vertimai baigti: 3036712

Jus taip pat gali sudominti:

• Tiesos lentelės skaičiuoklė. SDNF. SKNF. Zhegalkin daugianario

Skaičių sistemos

Skaičių sistemos skirstomos į du tipus: pozicinis Ir ne pozicinis. Mes naudojame arabišką sistemą, ji yra pozicinė, bet yra ir romėniška sistema – ji nėra pozicinė. Padėties sistemose skaitmens padėtis skaičiuje vienareikšmiškai lemia to skaičiaus reikšmę. Tai lengva suprasti pažvelgus į kokį nors skaičių kaip pavyzdį.

1 pavyzdys. Paimkime skaičių 5921 dešimtainėje skaičių sistemoje. Sunumeruokime skaičių iš dešinės į kairę, pradedant nuo nulio:

Skaičius 5921 gali būti parašytas tokia forma: 5921 = 5000+900+20+1 = 5·10 3 +9·10 2 +2·10 1 +1·10 0 . Skaičius 10 yra charakteristika, nusakanti skaičių sistemą. Tam tikro skaičiaus padėties reikšmės laikomos galiomis.

2 pavyzdys. Apsvarstykite tikrąjį dešimtainį skaičių 1234.567. Sunumeruokime jį nuo nulinės skaičiaus padėties nuo kablelio į kairę ir dešinę:

Skaičius 1234,567 gali būti parašytas tokia forma: 1234,567 = 1000+200+30+4+0,5+0,06+0,007 = 1·10 3 +2·10 2 +3·10 1 +4·10 0 +5·10 -1 + 6 · 10 -2 +7 · 10 -3 .

Skaičių konvertavimas iš vienos skaičių sistemos į kitą

Paprasčiausias būdas konvertuoti skaičių iš vienos skaičių sistemos į kitą – pirmiausia konvertuoti skaičių į dešimtainę skaičių sistemą, o tada gautą rezultatą į reikiamą skaičių sistemą.

Skaičių konvertavimas iš bet kurios skaičių sistemos į dešimtainę skaičių sistemą

Norint konvertuoti skaičių iš bet kurios skaičių sistemos į dešimtainę, užtenka sunumeruoti jo skaitmenis, pradedant nuo nulio (skaitmuo, esantis kairėje nuo kablelio) panašiai kaip 1 arba 2 pavyzdžiuose. Raskime skaitmenų sandaugų sumą. skaičiaus pagal skaičių sistemos pagrindą iki šio skaitmens padėties laipsnio:

1. Konvertuokite skaičių 1001101.1101 2 į dešimtainę skaičių sistemą.
Sprendimas: 10011.1101 2 = 1,2 4 +0,2 3 +0,2 2 +1,2 1 +1,2 0 +1,2 -1 +1,2 -2 +0,2 -3 +1,2 - 4 = 16 + 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + 0,0625 = 19,8125 10
Atsakymas: 10011.1101 2 = 19.8125 10

2. Konvertuokite skaičių E8F.2D 16 į dešimtainę skaičių sistemą.
Sprendimas: E8F.2D 16 = 14·16 2 +8·16 1 +15·16 0 +2·16 -1 +13·16 -2 = 3584+128+15+0,125+0,05078125 = 3727,17578125 10
Atsakymas: E8F.2D 16 = 3727.17578125 10

Skaičių konvertavimas iš dešimtainės skaičių sistemos į kitą skaičių sistemą

Norint konvertuoti skaičius iš dešimtainės skaičių sistemos į kitą skaičių sistemą, sveikoji ir trupmeninė skaičiaus dalys turi būti konvertuojamos atskirai.

Sveikosios skaičiaus dalies konvertavimas iš dešimtainės skaičių sistemos į kitą skaičių sistemą

Sveikoji dalis paverčiama iš dešimtainės skaičių sistemos į kitą skaičių sistemą nuosekliai dalijant sveikąją skaičiaus dalį iš skaičių sistemos pagrindo, kol gaunama visa liekana, mažesnė už skaičių sistemos bazę. Vertimo rezultatas bus likusios dalies įrašas, pradedant nuo paskutinio.

3. Konvertuokite skaičių 273 10 į aštuntainių skaičių sistemą.
Sprendimas: 273 / 8 = 34 ir liekana 1. 34 / 8 = 4 ir likusioji dalis 2. 4 yra mažesnė nei 8, todėl skaičiavimas baigtas. Įrašas iš likučių atrodys taip: 421
Apžiūra: 4·8 2 +2·8 1 +1·8 0 = 256+16+1 = 273 = 273, rezultatas toks pat. Tai reiškia, kad vertimas atliktas teisingai.
Atsakymas: 273 10 = 421 8

Panagrinėkime taisyklingųjų dešimtainių trupmenų vertimą į įvairias skaičių sistemas.

Skaičiaus trupmeninės dalies konvertavimas iš dešimtainės skaičių sistemos į kitą skaičių sistemą

Prisiminkite, kad vadinama tinkama dešimtainė trupmena realusis skaičius su nuline sveikojo skaičiaus dalimi. Norint konvertuoti tokį skaičių į skaičių sistemą su baze N, reikia skaičių nuosekliai padauginti iš N, kol trupmeninė dalis pasieks nulį arba bus gautas reikiamas skaitmenų skaičius. Jei dauginant gaunamas skaičius, kurio sveikoji dalis yra kitokia nei nulis, tada į sveikąją dalį toliau neatsižvelgiama, nes ji nuosekliai įvedama į rezultatą.

4. Konvertuokite skaičių 0,125 10 į dvejetainę skaičių sistemą.
Sprendimas: 0,125 · 2 = 0,25 (0 yra sveikoji dalis, kuri taps pirmuoju rezultato skaitmeniu), 0,25 · 2 = 0,5 (0 yra antrasis rezultato skaitmuo), 0,5 · 2 = 1,0 (1 yra trečias skaitmuo rezultato, o kadangi trupmeninė dalis yra lygi nuliui , tada vertimas baigtas).
Atsakymas: 0.125 10 = 0.001 2

Pagrindinės skaičių sistemų sąvokos

Skaičių sistema yra taisyklių ir būdų, kaip rašyti skaičius naudojant skaitmeninių simbolių rinkinį, rinkinys. Skaičių skaičius, reikalingas skaičiui įrašyti sistemoje, vadinamas skaičių sistemos pagrindu. Sistemos pagrindas rašomas dešinėje indekso skaičiaus pusėje: ; ; ir tt

Yra dviejų tipų skaičių sistemos:

pozicinis, kai kiekvieno skaičiaus skaitmens reikšmė nustatoma pagal jo vietą skaičiaus įraše;

nepozicinis, kai skaičiaus skaitmens reikšmė nepriklauso nuo jo vietos skaičiaus žymėjime.

Nepozicinės skaičių sistemos pavyzdys yra romėniškoji: skaičiai IX, IV, XV ir kt. Padėties skaičių sistemos pavyzdys yra dešimtainė sistema, naudojama kiekvieną dieną.

Bet kuris sveikasis skaičius padėties sistemoje gali būti parašytas daugianario forma:

čia S yra skaičių sistemos pagrindas;

Tam tikroje skaičių sistemoje užrašyto skaičiaus skaitmenys;

n yra skaičiaus skaitmenų skaičius.

Pavyzdys. Skaičius bus parašytas daugianario forma taip:

Skaičių sistemų tipai

Romėniška skaičių sistema yra nepozicinė sistema. Skaičiams rašyti naudojamos lotyniškos abėcėlės raidės. Šiuo atveju raidė I visada reiškia vieną, raidė V – penkis, X – dešimt, L – penkiasdešimt, C – šimtas, D – penki šimtai, M – tūkstantis ir t.t. Pavyzdžiui, skaičius 264 parašytas kaip CCLXIV. Rašant skaičius romėniškoje skaičių sistemoje, skaičiaus reikšmė yra į jį įtrauktų skaitmenų algebrinė suma. Šiuo atveju skaitmenys numerių įraše, kaip taisyklė, yra jų reikšmių mažėjimo tvarka ir negalima rašyti daugiau nei trijų vienodų skaitmenų greta. Kai po didesnę reikšmę turinčio skaitmens seka mažesnės reikšmės skaitmuo, jo indėlis į viso skaičiaus reikšmę yra neigiamas. Tipiški pavyzdžiai, iliustruojantys bendrąsias skaičių rašymo romėniškų skaičių sistema taisykles, pateikti lentelėje.

2 lentelė. Skaičių rašymas romėniškų skaičių sistema

		III
	VII	VIII
	XIII	XVIII	XIX	XXII
XXXIV	XXXIX			XCIX
200	438	649	999	1207
	CDXXXVIII	DCXLIX	CMXCIX	MCCVII
2045	3555	3678	3900	3999
MMXLV	MMMDLV	MMMDCLXXVIII	MMMCM	MMMCMXCIX

Romėniškos sistemos trūkumas yra formalių skaičių rašymo taisyklių ir atitinkamai aritmetinių operacijų su daugiaženkliais skaičiais trūkumas. Dėl savo nepatogumo ir didelio sudėtingumo romėniška skaičių sistema šiuo metu naudojama ten, kur tikrai patogu: literatūroje (skyrių numeracija), kuriant dokumentus (pasų seriją, vertybinius popierius ir kt.), dekoratyviniais tikslais ant ciferblatu ir daugeliu kitų atvejų.

Šiuo metu labiausiai žinoma ir naudojama dešimtainė skaičių sistema. Dešimtainių skaičių sistemos išradimas yra vienas iš pagrindinių žmogaus mąstymo laimėjimų. Be jos šiuolaikinės technologijos vargu ar galėtų egzistuoti, juo labiau atsirasti. Priežastis, kodėl dešimtainė skaičių sistema tapo visuotinai priimta, nėra visiškai matematinė. Žmonės įpratę skaičiuoti dešimtainių skaičių sistema, nes ant rankų turi 10 pirštų.

Senovės dešimtainių skaitmenų vaizdas (1 pav.) nėra atsitiktinis: kiekvienas skaitmuo reiškia skaičių pagal kampų skaičių jame. Pavyzdžiui, 0 – nėra kampų, 1 – vienas kampas, 2 – du kampai ir t.t. Dešimtainių skaičių rašymas smarkiai pasikeitė. Mūsų naudojama forma buvo nustatyta XVI a.

Dešimtainė sistema pirmą kartą pasirodė Indijoje maždaug VI amžiuje. Indijos numeracija naudojo devynis skaitinius simbolius ir nulį, kad būtų nurodyta tuščia vieta. Ankstyvuosiuose indų rankraščiuose, kurie pasiekė mus, skaičiai buvo rašomi atvirkštine tvarka - reikšmingiausias skaičius buvo dešinėje. Tačiau netrukus tapo įprasta tokį skaičių dėti kairėje pusėje. Ypatingas dėmesys buvo skiriamas nulio simboliui, kuris buvo įvestas padėties žymėjimo sistemai. Indiška numeracija, įskaitant nulį, išliko iki šių dienų. Europoje hinduistiniai dešimtainės aritmetikos metodai paplito XIII amžiaus pradžioje. italų matematiko Leonardo iš Pizos (Fibonačio) darbo dėka. Europiečiai Indijos skaičių sistemą pasiskolino iš arabų, vadindami ją arabiška. Šis istorinis klaidingas pavadinimas tęsiasi iki šiol.

Dešimtainėje sistemoje naudojama dešimt skaitmenų – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ir 9, taip pat simboliai „+“ ir „–“, nurodantys skaičiaus ženklą, ir kableliu arba tašku, kad atskirtumėte sveikuosius skaičius ir dešimtaines dalis.

Kompiuteriai naudoja dvejetainę skaičių sistemą, jos pagrindas yra skaičius 2. Skaičiams rašyti šioje sistemoje naudojami tik du skaitmenys – 0 ir 1. Priešingai paplitusiai klaidingai nuomonei, dvejetainę skaičių sistemą išrado ne kompiuterių projektavimo inžinieriai, o matematikai ir filosofai dar gerokai prieš kompiuterių atsiradimą, dar XVII – XIX a. Pirmą kartą paskelbta diskusija apie dvejetainę skaičių sistemą yra ispanų kunigo Juano Caramuelio Lobkowitzo (1670). Bendrą dėmesį į šią sistemą patraukė 1703 m. paskelbtas vokiečių matematiko Gotfrydo Vilhelmo Leibnico straipsnis, kuriame paaiškinamos dvejetainės sudėties, atimties, daugybos ir dalybos operacijos. Leibnicas nerekomendavo šios sistemos naudoti praktiniams skaičiavimams, tačiau pabrėžė jos svarbą teoriniams tyrimams. Laikui bėgant dvejetainė skaičių sistema tampa gerai žinoma ir vystosi.

Dvejetainės sistemos pasirinkimas naudoti kompiuterinėse technologijose paaiškinamas tuo, kad elektroniniai elementai – paleidikliai, sudarantys kompiuterių lustus – gali būti tik dviejų veikimo būsenų.

Naudodami dvejetainę kodavimo sistemą galite užfiksuoti bet kokius duomenis ir žinias. Tai nesunku suprasti, jei prisiminsime informacijos kodavimo ir perdavimo naudojant Morzės kodą principą. Telegrafo operatorius, naudodamas tik du šios abėcėlės simbolius – taškus ir brūkšnelius, gali perduoti beveik bet kokį tekstą.

Dvejetainė sistema patogi kompiuteriui, bet nepatogi žmogui: skaičiai ilgi, sunkiai įrašomi ir įsimenami. Žinoma, galite konvertuoti skaičių į dešimtainę sistemą ir parašyti šia forma, o tada, kai reikės konvertuoti atgal, tačiau visi šie vertimai reikalauja daug darbo. Todėl naudojamos skaičių sistemos, susijusios su dvejetaine – aštuntainė ir šešioliktainė. Norint rašyti skaičius šiose sistemose, reikia atitinkamai 8 ir 16 skaitmenų. 16-osios raidės pirmieji 10 skaitmenų yra įprasti, o tada naudojamos didžiosios lotyniškos raidės. Šešioliktainis skaitmuo A atitinka dešimtainį skaičių 10, šešioliktainis B – dešimtainis skaičius 11 ir tt Šių sistemų naudojimas paaiškinamas tuo, kad perėjimas prie skaičiaus rašymo bet kurioje iš šių sistemų iš jo dvejetainio žymėjimo yra labai paprastas. Žemiau pateikiama skirtingose ​​sistemose parašytų skaičių atitikmenų lentelė.

3 lentelė. Skaičių, parašytų skirtingomis skaičių sistemomis, atitikimas

Dešimtainė	Dvejetainis	aštuntainis	Šešioliktainis
	001
	010
	011
	100
	101
	110
	111
	1000
	1001
	1010
	1011
	1100
	1101		D http://viagrasstore.net/generic-viagra-soft/
	1110
	1111
	10000

Skaičių konvertavimo iš vienos skaičių sistemos į kitą taisyklės

Skaičių konvertavimas iš vienos skaičių sistemos į kitą yra svarbi mašinos aritmetikos dalis. Panagrinėkime pagrindines vertimo taisykles.

1. Norint paversti dvejetainį skaičių į dešimtainį, reikia jį užrašyti daugianario forma, susidedančia iš skaičiaus skaitmenų sandaugų ir atitinkamos laipsnio 2, ir apskaičiuoti pagal taisykles dešimtainė aritmetika:

Verčiant patogu naudoti dviejų galių lentelę:

4 lentelė. Skaičiaus 2 laipsniai

n (laipsnis)
											1024

Pavyzdys. Konvertuokite skaičių į dešimtainę skaičių sistemą.

2. Norint paversti aštuntąjį skaičių į dešimtainį, reikia jį užrašyti kaip daugianarį, susidedantį iš skaičiaus skaitmenų ir atitinkamos skaičiaus 8 laipsnio sandaugų, ir apskaičiuoti pagal dešimtainio skaičiaus taisykles. aritmetika:

Verčiant patogu naudoti aštuonių galių lentelę:

5 lentelė. Skaičiaus 8 laipsniai

n (laipsnis)

Skaitmeniniuose kompiuteriuose naudojamos skaičių sistemos

Kompiuteris naudoja šias skaičių sistemas:

1. Dvejetainė skaičių sistema – kaip darbo;

2. Dešimtainė skaičių sistema – pradinei informacijai įrašyti ir rezultatams rodyti;

3. Aštuntainių skaičių sistema;

4. Šešioliktainė skaičių sistema;

5. Mišri (dvejetainė-dešimtainė) skaičių sistema.

Aštuontainė ir šešioliktainė skaičių sistemos yra pagalbinės. Jie naudojami ruošiant uždavinius sprendimui (programuojant assembly, mašinų ir kt. kalbomis). Šios sistemos yra patogios, nes skaičiaus aštuntainis žymėjimas yra tris kartus trumpesnis nei jo dvejetainis, o šešioliktainis – keturis kartus trumpesnis. Kalbant apie skaičių konvertavimą iš vienos sistemos į kitą, būtent pagal schemas 8®2, 2®8, 16®2, 2®16, tai nesukelia jokių sunkumų ir gali būti atlikta grynai mechaniškai.

Dvejetainė dešimtainių skaičių sistemataip pat yra pagalbinis ir daugiausia naudojamas dešimtainiams skaičiams saugoti kompiuterio atmintyje. Dešimtainių skaičių rašymas BCD s.s. atliekama taip. Kiekvienas dešimtainio skaičiaus skaitmuo rašomas su jo dvejetainiu ekvivalentu. Tokiam įrašui reikės ne daugiau kaip keturių dvejetainių skaitmenų. Iškviečiamas keturių skaitmenų dvejetainis skaičius, reiškiantis dešimtainį skaitmenį užrašų knygelė.

Norint pavaizduoti dešimtainį skaičių dvejetaine dešimtaine forma, kiekvieną jo skaitmenį reikia įrašyti į atitinkamą bloknotą. Paimkite, pavyzdžiui, dešimtainį skaičių 3795.28 ir parašykite jį BCD forma:

0011 0111 1001 0101, 0010 1000

Taigi dešimtainis skaičius 3795.28 turės tokį dvejetainį dešimtainį žymėjimą: 0011011110010101.00101000.

Perėjimas nuo dešimtainio į dvejetainį dešimtainį žymėjimą, kaip matome, atliekamas elementariai ir nereikalauja jokių skaičiavimų.

Atvirkštiniam vertimui (iš dvejetainio dešimtainio žymėjimo į dešimtainį) reikia padalyti dvejetainį dešimtainį skaičių kairėje ir dešinėje nuo kablelio į keturis skaitmenis (tetradas), o tada kiekvieną iš jų parašyti atitinkamu dešimtainiu skaitmeniu. .

Pavyzdžiui, duokite dvejetainį dešimtainį skaičių: 010110000110.00110111

Suskaidykime jį į tetradas ir kiekvieną tetradą pakeiskime dešimtainiu skaitmeniu:

0101 1000 0110, 0011 0111 = 586,37.

Bendroji sveikųjų skaičių konvertavimo taisyklė. Norint konvertuoti sveikąjį skaičių iš vienos padėties skaičių sistemos į kitą, jis turi būti nuoseklus padalinti remiantis sistemos, į kurią jis išverstas, q. Dalyba vykdoma tol, kol gauname koeficientą, mažesnį už q. Skaičius naujoje skaičių sistemoje bus rašomas formoje likučiai skyriai pradedant nuo paskutinio. Paskutinis koeficientas suteikia pirminį skaičiaus skaitmenį. Vertimas atliekamas skaičių sistema, iš kurios verčiame.

Kuriant įvairaus dydžio tinklus ir kasdien atliekant skaičiavimus, nereikia kurti tokio cheat sheet, viskas daroma pagal besąlyginį refleksą. Tačiau kai labai retai naršote tinkluose, ne visada prisimenate, kokia dešimtainė kaukė yra priešdėlio 21 arba koks yra to paties priešdėlio tinklo adresas. Šiuo atžvilgiu nusprendžiau parašyti keletą nedidelių straipsnių-apgautų lapų apie skaičių konvertavimą į įvairias skaičių sistemas, tinklo adresus, kaukes ir kt. Šioje dalyje kalbėsime apie skaičių konvertavimą į skirtingas skaičių sistemas.

1. Skaičių sistemos

Kai darysite ką nors, kas susiję su kompiuterių tinklais ir IT, bet kuriuo atveju susidursite su šia koncepcija. Ir kaip sumanus IT specialistas, jūs turite tai bent šiek tiek suprasti, net jei praktikoje tuo naudositės labai retai.
Apsvarstykite kiekvieno skaitmens vertimą iš IP adreso 98.251.16.138 šiose skaičių sistemose:

• Dvejetainis
• aštuntainis
• Dešimtainė
• Šešioliktainis

1.1 Dešimtainė

Kadangi skaičiai rašomi dešimtaine dalimi, konvertavimą iš dešimtainės į dešimtainę praleisime :)

1.1.1 Dešimtainė → Dvejetainė

Kaip žinome, dvejetainių skaičių sistema naudojama beveik visuose šiuolaikiniuose kompiuteriuose ir daugelyje kitų skaičiavimo įrenginių. Sistema labai paprasta – turime tik 0 ir 1.
Norėdami konvertuoti skaičių su dešimtine į dvejetainę formą, turite naudoti dalybos modulo 2 (t. y. sveikojo skaičiaus padalijimą iš 2), todėl visada turėsime 1 arba 0 likutį. Tokiu atveju rezultatas yra parašyta iš dešinės į kairę. Pavyzdys viską sustatys į savo vietas:

1.1 pav. Skaičių konvertavimas iš dešimtainės į dvejetainę sistemą

1.2 pav. Skaičių konvertavimas iš dešimtainės į dvejetainę sistemą

Aprašysiu skaičiaus 98 padalijimą. 98 padalijame iš 2, dėl to gauname 49, o likusioji dalis yra 0. Toliau dalijame ir 49 dalijame iš 2, dėl to gauname 24 su likučiu 1. Ir lygiai taip pat gauname 1 arba 0 dalijamajame. Tada rašome rezultatą iš dešinės į kairę.

1.1.2 Dešimtainė → Aštuontainė

Aštuontainė sistema yra sveikųjų skaičių sistema, kurios bazė yra 8. T.y. visi jame esantys skaičiai pateikiami diapazone nuo 0 iki 7, o norint konvertuoti iš dešimtainės sistemos, reikia naudoti padalijimą modulo 8.

1.3 pav. Skaičių konvertavimas iš dešimtainės į aštuntainę sistemą

Skirstymas panašus į 2 balų sistemą.

1.1.3 Dešimtainė → Šešioliktainė

Šešioliktainė sistema beveik visiškai pakeitė aštuntainę sistemą. Jo pagrindas yra 16, bet naudojami dešimtainiai skaitmenys nuo 0 iki 9 + lotyniškos raidės nuo A (skaičius 10) iki F (skaičius 15). Su juo susiduriate kiekvieną kartą, kai tikrinate tinklo adapterio nustatymus – tai MAC adresas. Tas pats, kai naudojamas IPv6.

1.4 pav. Skaičių konvertavimas iš dešimtainės į šešioliktainę

1.2 Dvejetainis

Ankstesniame pavyzdyje mes konvertavome visus dešimtainius skaičius į kitas skaičių sistemas, iš kurių viena yra dvejetainė. Dabar paverskime kiekvieną skaičių iš dvejetainės formos.

1.2.1 Dvejetainė → dešimtainė

Norėdami konvertuoti skaičius iš dvejetainių į dešimtainius, turite žinoti du niuansus. Pirmasis yra tas, kad kiekvienas nulis ir vienas turi koeficientą 2 iki n-osios laipsnio, kuriame n padidėja iš dešinės į kairę lygiai vienu. Antra – padauginus reikia sudėti visus skaičius ir gausime skaičių dešimtaine forma. Dėl to turėsime tokią formulę:

D = (a n × p n-1) + (a n-1 × p n-2) + (a n-2 × p n-3) +…, (1.2.1)

kur,
D yra dešimtainis skaičius, kurio ieškome;
n– dvejetainio skaičiaus simbolių skaičius;
a – n-toje vietoje esantis dvejetainės formos skaičius (t. y. pirmasis simbolis, antrasis ir kt.);
p – koeficientas lygus 2,8 arba 16 galiai n(priklausomai nuo skaičių sistemos)

Pavyzdžiui, paimkime skaičių 110102. Pažiūrime į formulę ir rašome:

• Skaičius susideda iš 5 simbolių ( n=5)

a 5 = 1, a 4 = 1, a 3 = 0, a 2 = 1, a 1 = 0

• p = 2 (kadangi mes konvertuojame iš dvejetainės į dešimtainę)

Dėl to turime:

D = (1 × 2 5–1) + (1 × 2 5–2) + (0 × 2 5–3) + (1 × 2 5–4) + (0 × 2 5–5) = 16 + 8 + 0 + 2 + 0 = 26 10

Tiems, kurie įpratę rašyti iš dešinės į kairę, forma atrodys taip:

D = (0 × 2 5–5) + (1 × 2 5–4) + (0 × 2 5–3) + (1 × 2 5–2) + (1 × 2 5–1) = 0 + 2 + 0 + 8 + 16 = 26 10

Tačiau, kaip žinome, terminų pertvarkymas sumos nekeičia. Dabar paverskime savo skaičius į dešimtainę formą.

1.5 pav. Skaičių konvertavimas iš dvejetainės į dešimtainę sistemą

1.2.2 Dvejetainis → aštuntainis

Versdami dvejetainį skaičių turime padalyti į grupes po tris simbolius iš dešinės į kairę. Jei paskutinę grupę sudaro ne trys simboliai, trūkstamus bitus tiesiog pakeičiame nuliais. Pvz.:

10101001 = 0 10 101 001

1011100 = 00 1 011 100

Kiekviena bitų grupė yra vienas iš aštuntųjų skaičių. Norėdami sužinoti, kuris iš jų, turite naudoti 1.2.1 formulę, parašytą aukščiau kiekvienai bitų grupei. Kaip rezultatas, mes gauname.

1.6 pav. Skaičių konvertavimas iš dvejetainės į aštuntainę sistemą

1.2.3 Dvejetainis → Šešioliktainis

Čia turime padalyti dvejetainį skaičių į keturių simbolių grupes iš dešinės į kairę, po to pridėti nulius prie trūkstamų grupės bitų, kaip aprašyta aukščiau. Jei paskutinę grupę sudaro nuliai, į juos reikia nekreipti dėmesio.

110101011 = 000 1 1010 1011

1011100 = 0 101 1100

001010000 = 00 0101 0000 = 0101 0000

Kiekviena bitų grupė yra vienas iš šešioliktainių skaičių. Kiekvienai bitų grupei naudojame formulę 1.2.1.

1.7 pav. Skaičių konvertavimas iš dvejetainių į šešioliktainį

1,3 aštuntalio

Šioje sistemoje sunkumų gali kilti tik konvertuojant į šešioliktainį skaičių, nes visa kita vertimo dalis vyksta sklandžiai.

1.3.1 Aštuontainis → Dvejetainis

Kiekvienas skaičius aštuntojoje sistemoje yra trijų bitų grupė dvejetainėje sistemoje, kaip aprašyta aukščiau. Norėdami išversti, turime naudoti cheat sheet:

Pav. 1.8 – Spur skaičiams konvertuoti iš aštuntainės sistemos

Naudodami šią planšetę savo skaičius konvertuosime į dvejetainę sistemą.

1.9 pav. Skaičių konvertavimas iš aštuntainio į dvejetainį

Trumpai aprašysiu išvadą. Mūsų pirmasis skaičius yra 142, o tai reiškia, kad bus trys grupės po tris bitus. Mes naudojame spurtą ir matome, kad skaičius 1 yra 001, skaičius 4 yra 100, o skaičius 2 yra 010. Dėl to turime skaičių 001100010.

1.3.2 Aštuntainis → Dešimtainis

Čia mes naudojame formulę 1.2.1 tik su koeficientu 8 (t.y. p=8). Dėl to mes turime

1.10 pav. Skaičių konvertavimas iš aštuntainės į dešimtainę sistemą

• Skaičius susideda iš 3 simbolių ( n=3)

a 3 = 1, a 2 = 4, a 1 = 2

• p = 8 (nes konvertuojame iš aštuntainio į dešimtainį skaičių)

Dėl to turime:

D = (1 × 8 3–1) + (4 × 8 3–2) + (2 × 8 3–3) = 64 + 32 + 2 = 98 10

1.3.3 Aštuontainis → Šešioliktainis

Kaip buvo parašyta anksčiau, norėdami išversti, pirmiausia turime konvertuoti skaičius į dvejetainę sistemą, tada iš dvejetainės į šešioliktainę, padalydami juos į 4 bitų grupes. Galite naudoti toliau pateiktą spurtą.

1.11 pav. – Skambučiai konvertuoti skaičius iš šešioliktainės sistemos

Ši lentelė padės konvertuoti iš dvejetainio į šešioliktainį. Dabar paverskime savo skaičius.

1.12 pav. Skaičių konvertavimas iš aštuntainio į šešioliktainį

1.4 Šešioliktainis

Ši sistema turi tą pačią problemą konvertuojant į aštuntainį. Bet apie tai vėliau.

1.4.1 Šešioliktainis → dvejetainis

Kiekvienas šešioliktainis skaičius yra keturių dvejetainių bitų grupė, kaip aprašyta aukščiau. Norėdami išversti, galime naudoti aukščiau esantį kodų lapą. Kaip rezultatas:

1.13 pav. Skaičių konvertavimas iš šešioliktainio į dvejetainį

Paimkime pirmąjį skaičių – 62. Pasinaudoję lentele (1.11 pav.) matome, kad 6 yra 0110, 2 – 0010, dėl to turime skaičių 01100010.

1.4.2 Šešioliktainis → dešimtainis

Čia mes naudojame formulę 1.2.1 tik su koeficientu 16 (t.y. p=16). Dėl to mes turime

1.14 pav. Skaičių konvertavimas iš šešioliktainės į dešimtainę

Paimkime pirmąjį skaičių. Remiantis 1.2.1 formule:

• Skaičius susideda iš 2 simbolių ( n=2)

a 2 = 6, a 1 = 2

• p = 16 (nes konvertuojame iš šešioliktainės į dešimtainę)

Dėl to mes turime.

D = (6 × 16 2–1) + (2 × 16 2–2) = 96 + 2 = 98 10

1.4.3 Šešioliktainis → aštuntainis

Norėdami konvertuoti į aštuntainę sistemą, pirmiausia turite konvertuoti į dvejetainę, tada padalinti į grupes po 3 bitus ir naudoti lentelę (1.8 pav.). Kaip rezultatas:

1.15 pav. Skaičių konvertavimas iš šešioliktainio į aštuntainį

Kalbėsime apie IP adresus, kaukes ir tinklus.