, stran 6

11 Osnovne funkcije kompleksne spremenljivke

Spomnimo se definicije kompleksnega eksponenta – ​​. Potem

Razširitev serije Maclaurin. Konvergenčni polmer te serije je +∞, kar pomeni, da je kompleksna eksponenta analitična na celotni kompleksni ravnini in

(exp z)"=exp z; exp 0=1. (2)

Prva enakost tukaj izhaja na primer iz izreka o člen za členom diferenciacije potenčne vrste.

11.1 Trigonometrične in hiperbolične funkcije

Sinus kompleksne spremenljivke imenovana funkcija

Kosinus kompleksne spremenljivke obstaja funkcija

Hiperbolični sinus kompleksne spremenljivke je definiran takole:

Hiperbolični kosinus kompleksne spremenljivke-- to je funkcija

Opozorimo na nekatere lastnosti na novo uvedenih funkcij.

A.Če x∈ ℝ, potem cos x, sin x, cosh x, sh x∈ ℝ.

B. Med trigonometričnimi in hiperboličnimi funkcijami obstaja naslednja povezava:

cos iz=ch z; sin iz=ish z, ch iz=cos z; sh iz=isin z.

B. Osnovne trigonometrične in hiperbolične identitete:

cos 2 z+sin 2 z=1; ch 2 z-sh 2 z=1.

Dokaz glavne hiperbolične identitete.

Glavna trigonometrična identiteta izhaja iz glavne hiperbolične identitete ob upoštevanju povezave med trigonometričnimi in hiperboličnimi funkcijami (glej lastnost B)

G Adicijske formule:

Še posebej,

D. Za izračun odvodov trigonometričnih in hiperboličnih funkcij je treba uporabiti izrek o člen za členom diferenciacije potenčne vrste. Dobimo:

(cos z)"=-sin z; (sin z)"=cos z; (ch z)"=sh z; (sh z)"=ch z.

E. Funkciji cos z, ch z sta sodi, funkciji sin z, sin z pa lihi.

J. (pogostost) Funkcija e z je periodična s periodo 2π i. Funkciji cos z, sin z sta periodični s periodo 2π, funkciji ch z, sin z pa sta periodični s periodo 2πi. Še več,

Z uporabo formul za vsoto dobimo

Z. Razčlenitve na realne in imaginarne dele:

Če analitična funkcija z eno vrednostjo f(z) bijektivno preslika domeno D na domeno G, potem D imenujemo enovalentna domena.

IN. Območje D k =( x+iy | 2π k≤ y<2π (k+1)} для любого целого k является областью однолистности функции e z , которая отображает ее на область ℂ* .

Dokaz. Iz relacije (5) sledi, da je preslikava exp:D k → ℂ injektivna. Naj bo w poljubno kompleksno število, ki ni nič. Nato rešimo enačbe e x =|w| in e iy =w/|w| z realnima spremenljivkama x in y (y je izbran iz polintervala za n > 1 je različen od nič na vseh točkah, razen z = 0. Če v formuli (4) zapišemo w in z v eksponentni obliki, dobimo, da Iz formule ( 5) jasno je, da kompleksna števila Z\ in z2, kjer je k celo število, gredo v eno točko w. To pomeni, da za n > 1 preslikava (4) ni enostavna na ravnini z domena, v kateri je preslikava φ = zn univalentna, je sektor, kjer je a poljubno realno število. kompleksna števila, tako da je njihova n-ta potenca enaka z: Upoštevajte, da je polinom stopnje n kompleksne spremenljivke z funkcija, kjer so podana kompleksna števila in ao Φ 0. Polinom katere koli stopnje je analitična funkcija na celotnem. kompleksna ravnina 2.3 Ulomno-racionalna funkcija Ulomno-racionalna funkcija je funkcija oblike kjer je) - polinomi kompleksne spremenljivke z. Ulomka racionalna funkcija je analitična po vsej ravnini, razen v tistih točkah, kjer imenovalec Q(z) izniči. Primer 3. Funkcija Žukovskega__ je analitična v celotni ravnini r, razen v točki r = 0. Ugotovimo pogoje za območje kompleksne ravnine, pod katerimi bo funkcija Žukovskega, obravnavana v tem območju, enovalentna. M Naj sta točki Z) in zj preneseni s funkcijo (8) v eno točko. Potem pri dobimo, da Torej, da je funkcija Žukovskega univalentna, je potrebno in zadostno izpolnjevati pogoj. Primer območja, ki izpolnjuje pogoj univalentnosti (9), je zunanjost kroga |z| > 1. Ker je odvod funkcije Žukovskega Elementarne funkcije kompleksne spremenljivke Delno-racionalne funkcije Funkcija moči Eksponentna funkcija Logaritemska funkcija Trigonometrične in hiperbolične funkcije povsod razen v točkah, bo preslikava domene, ki jo izvaja ta funkcija, konformna (Slika 13). Upoštevajte, da je notranjost diska enote |I tudi domena univalentnosti funkcije Žukovskega. riž. 13 2.4. Eksponentna funkcija Definiramo eksponentno funkcijo ez za poljubno kompleksno število z = x + y z naslednjim razmerjem: Za x = 0 dobimo Eulerjevo formulo: Opišemo glavne lastnosti eksponentne funkcije: 1. Za realni z je ta definicija sovpada z običajnim. To lahko preverimo neposredno tako, da v formuli (10) postavimo y = 0. Funkcija ez je analitična na celotni kompleksni ravnini in zanjo se ohrani običajna diferenciacijska formula . Predpostavimo 4. Funkcija ez je periodična z namišljeno glavno periodo 2xi. Pravzaprav za vsako celo število k Po drugi strani pa, če potem iz definicije (10) sledi, da Od koder sledi to, ali kjer je n celo število. Trak ne vsebuje niti enega para točk, povezanih z relacijo (12), zato iz opravljene študije sledi, da je preslikava w = e" enojna v traku (sl. 14). Ker gre za izpeljanko, Opomba: Funkcija g.g je univalentna v katerem koli traku. 2.5 Iz enačbe, kjer je podana neznanka, dobimo inverzno funkcijo funkcije, ki je predstavljena s formulo. večvredno funkcijo imenujemo logaritemska in jo označimo na naslednji način. Vrednost arg z imenujemo glavna vrednost logaritma in jo označimo s Potem za Ln z dobimo formulo 2.6. Iz Eulerjeve formule (11) za realno y we dobimo Od koder definiramo trigonometrični funkciji sin z in cos z za poljubno kompleksno število z z uporabo naslednjih formul: Sinus in kosinus kompleksnega argumenta imata zanimive lastnosti. Naštejmo glavne: Funkciji sinz in cos z: 1) za realne z -x sovpadajo z navadnimi sinusi in kosinusi; 2) analitičen na celotni kompleksni ravnini; 3) upoštevajo običajne diferenciacijske formule: 4) so ​​periodični s periodo 2π; 5) sin z je liha funkcija, cos z pa soda funkcija; 6) običajna trigonometrična razmerja so ohranjena. Vse naštete lastnosti lahko enostavno dobimo iz formul (15). Funkciji tgz in ctgz v kompleksni domeni sta določeni s formulami, hiperbolične funkcije pa s formulami "Hiperbolične funkcije so tesno povezane s trigonometričnimi funkcijami. To razmerje je izraženo z naslednjimi enakostmi: Sinus in kosinus kompleksnega argumenta imata še ena pomembna lastnost: na kompleksni ravnini |\ vzemimo poljubno velike pozitivne vrednosti. Z uporabo lastnosti 6 in formul (18) dobimo, da so Elementarne funkcije kompleksne spremenljivke Funkcija moči Eksponentna funkcija Trigonometrična in. hiperbolične funkcije Od koder, ob predpostavki, da imamo Primer 4. Z lahkoto je preveriti, da je -4 Dejansko,

Funkcije kompleksne spremenljivke.
Diferenciacija funkcij kompleksne spremenljivke.

Ta članek odpira niz lekcij, v katerih bom obravnaval tipične probleme, povezane s teorijo funkcij kompleksne spremenljivke. Za uspešno obvladovanje primerov morate imeti osnovno znanje o kompleksnih številih. Za utrjevanje in ponovitev snovi obiščite stran. Za iskanje boste potrebovali tudi spretnosti delni odvodi drugega reda. Evo jih, te delne izpeljanke... že zdaj sem bil kar malo presenečen, kako pogosto se pojavljajo...

Tema, ki jo začenjamo preučevati, ne predstavlja posebnih težav, v funkcijah kompleksne spremenljivke pa je načeloma vse jasno in dostopno. Glavna stvar je, da se držim osnovnega pravila, ki sem ga izpeljal eksperimentalno. Beri naprej!

Pojem funkcije kompleksne spremenljivke

Najprej osvežimo znanje o šolski funkciji ene spremenljivke:

Funkcija ene spremenljivke je pravilo, po katerem vsaki vrednosti neodvisne spremenljivke (iz domene definicije) ustreza ena in samo ena vrednost funkcije. Seveda sta "x" in "y" realni števili.

V kompleksnem primeru je funkcionalna odvisnost podana podobno:

Enovrednostna funkcija kompleksne spremenljivke– to je pravilo, po katerem vsak celovito vrednost neodvisne spremenljivke (iz domene definicije) ustreza eni in edini celovito vrednost funkcije. Teorija obravnava tudi večvrednostne in nekatere druge vrste funkcij, vendar se bom zaradi enostavnosti osredotočil na eno definicijo.

Kakšna je razlika med funkcijo kompleksne spremenljivke?

Glavna razlika: kompleksna števila. Nisem ironičen. Takšna vprašanja pogosto pustijo ljudi v omami; na koncu članka vam bom povedal smešno zgodbo. Pri lekciji Kompleksna števila za telebane obravnavali smo kompleksno število v obliki . Od zdaj je postala črka "z". spremenljivka, potem ga bomo označili na naslednji način: , medtem ko sta lahko "x" in "y" drugačna veljaven pomeni. Grobo rečeno, funkcija kompleksne spremenljivke je odvisna od spremenljivk in , ki zavzemata »navadne« vrednosti. Iz tega dejstva logično izhaja naslednje:

Funkcijo kompleksne spremenljivke lahko zapišemo kot:
, kjer sta in dve funkciji dveh veljaven spremenljivke.

Funkcija se imenuje pravi del funkcije
Funkcija se imenuje imaginarni del funkcije

To pomeni, da je funkcija kompleksne spremenljivke odvisna od dveh realnih funkcij in . Da bi končno vse razjasnili, si oglejmo praktične primere:

Primer 1

rešitev: Neodvisna spremenljivka "zet", kot se spomnite, je zapisana v obliki , torej:

(1) Zamenjali smo .

(2) Za prvi člen je bila uporabljena skrajšana formula za množenje. V izrazu so oklepaji odprti.

(3) Previdno na kvadrat, ne pozabite na to

(4) Preureditev izrazov: najprej izraze prepišemo , v katerem ni namišljene enote(prva skupina), nato izrazi, kjer so (druga skupina). Upoštevati je treba, da mešanje izrazov ni potrebno in ta korak lahko preskočite (tako da ga dejansko izvedete ustno).

(5) Za drugo skupino vzamemo iz oklepaja.

Kot rezultat se je izkazalo, da je naša funkcija predstavljena v obliki

odgovor:
– realni del funkcije.
– imaginarni del funkcije.

Kakšne funkcije so se izkazale? Najpogostejše funkcije dveh spremenljivk, iz katerih lahko najdete tako priljubljene delni derivati. Brez milosti ga bomo našli. Ampak malo kasneje.

Na kratko lahko algoritem za rešeno nalogo zapišemo takole: v prvotno funkcijo nadomestimo , izvedemo poenostavitve in vse člene razdelimo v dve skupini - brez imaginarne enote (realni del) in z imaginarno enoto (imaginarni del) .

Primer 2

Poiščite realni in imaginarni del funkcije

To je primer, ki ga morate rešiti sami. Preden se poženete v boj na zapleteni ravnini z izvlečenimi damami, naj vam dam najpomembnejši nasvet na to temo:

BODI PREVIDEN! Seveda morate biti previdni povsod, toda pri kompleksnih številih morate biti previdnejši kot kdaj koli prej! Ne pozabite, da previdno odprite oklepaje, ne izgubite ničesar. Po mojih opažanjih je najpogostejša napaka izguba znaka. Ne mudi se!

Celotna rešitev in odgovor na koncu lekcije.

Zdaj pa kocka. S skrajšano formulo množenja izpeljemo:
.

Formule so zelo priročne za uporabo v praksi, saj znatno pospešijo postopek rešitve.

Diferenciacija funkcij kompleksne spremenljivke.

Imam dve novici: dobro in slabo. Začel bom z dobrim. Za funkcijo kompleksne spremenljivke veljajo pravila diferenciacije in tabela odvodov elementarnih funkcij. Tako se odvod vzame na popolnoma enak način kot v primeru funkcije realne spremenljivke.

Slaba novica je, da za številne kompleksne funkcije spremenljivk sploh ni izpeljanke in morate ugotoviti ali je razločljiv eno ali drugo funkcijo. In "ugotoviti", kako se počuti vaše srce, je povezano z dodatnimi težavami.

Oglejmo si funkcijo kompleksne spremenljivke. Da bi bila ta funkcija diferencibilna, je potrebno in zadostno:

1) Torej obstajajo parcialni odvodi prvega reda. Takoj pozabite na te zapise, saj se v teoriji funkcij kompleksne spremenljivke tradicionalno uporablja drugačen zapis: .

2) Za izvedbo t.i Cauchy-Riemannovi pogoji:

Samo v tem primeru bo izpeljanka obstajala!

Primer 3

rešitev je razdeljen na tri zaporedne stopnje:

1) Poiščimo realni in imaginarni del funkcije. O tej nalogi smo razpravljali v prejšnjih primerih, zato jo bom zapisal brez komentarja:

Od takrat:

Torej:

– imaginarni del funkcije.

Naj se dotaknem še ene tehnične točke: v kakšnem vrstnem redu zapišite izraze v realnem in imaginarnem delu? Ja, načeloma je vseeno. Na primer, pravi del lahko zapišemo takole: , namišljenega pa – takole: .

2) Preverimo izpolnjevanje Cauchy-Riemannovih pogojev. Dva sta.

Začnimo s preverjanjem stanja. Najdemo delni derivati:

Tako je pogoj izpolnjen.

Seveda je dobra novica, da so delni derivati ​​skoraj vedno zelo preprosti.

Preverimo izpolnjevanje drugega pogoja:

Rezultat je enak, vendar z nasprotnimi predznaki, torej je tudi pogoj izpolnjen.

Cauchy-Riemannovi pogoji so izpolnjeni, zato je funkcija diferenciabilna.

3) Poiščimo odvod funkcije. Tudi izpeljanka je zelo preprosta in jo najdemo po običajnih pravilih:

Imaginarna enota med diferenciacijo velja za konstanto.

odgovor: – realni del, – imaginarni del.
Cauchy-Riemannovi pogoji so izpolnjeni, .

Obstajata še dva načina za iskanje izpeljanke, ki se seveda uporabljata manj pogosto, vendar bodo informacije koristne za razumevanje druge lekcije - Kako najti funkcijo kompleksne spremenljivke?

Izpeljanko je mogoče najti s formulo:

V tem primeru:

torej

Rešiti moramo inverzni problem - v dobljenem izrazu moramo izolirati . Da bi to naredili, je v pogojih in zunaj oklepaja potrebno:

Obratno dejanje je, kot so opazili mnogi, nekoliko težje preveriti, vedno je bolje vzeti izraz na osnutku ali ustno odpreti oklepaje in se prepričati, da je rezultat natančen;

Zrcalna formula za iskanje izpeljanke:

V tem primeru: , Zato:

Primer 4

Določite realne in imaginarne dele funkcije . Preverite izpolnjevanje Cauchy-Riemannovih pogojev. Če so Cauchy-Riemannovi pogoji izpolnjeni, poiščite odvod funkcije.

Kratka rešitev in približen vzorec končnega dizajna na koncu lekcije.

Ali so Cauchy-Riemannovi pogoji vedno izpolnjeni? Teoretično se ne izpolnijo pogosteje, kot se izpolnijo. Toda v praktičnih primerih se ne spomnim primera, ko niso bili izpolnjeni =) Torej, če se vaši delni derivati ​​"ne konvergirajo", potem lahko z zelo veliko verjetnostjo rečete, da ste nekje naredili napako.

Zakomplicirajmo naše funkcije:

Primer 5

Določite realne in imaginarne dele funkcije . Preverite izpolnjevanje Cauchy-Riemannovih pogojev. Izračunaj

rešitev: Algoritem reševanja je v celoti ohranjen, vendar bo na koncu dodana nova točka: iskanje odvoda v točki. Za kocko je zahtevana formula že izpeljana:

Opredelimo realne in imaginarne dele te funkcije:

Pozor in še enkrat pozor!

Od takrat:


Torej:
– realni del funkcije;
– imaginarni del funkcije.

Preverjanje drugega pogoja:

Rezultat je enak, vendar z nasprotnimi predznaki, torej je tudi pogoj izpolnjen.

Cauchy-Riemannovi pogoji so izpolnjeni, zato je funkcija diferenciabilna:

Izračunajmo vrednost derivata na zahtevani točki:

odgovor:, , so Cauchy-Riemannovi pogoji izpolnjeni,

Funkcije s kockami so pogoste, zato je tukaj primer za okrepitev:

Primer 6

Določite realne in imaginarne dele funkcije . Preverite izpolnjevanje Cauchy-Riemannovih pogojev. Izračunaj.

Rešitev in primer zaključka ob koncu lekcije.

V teoriji kompleksne analize so opredeljene tudi druge funkcije kompleksnega argumenta: eksponent, sinus, kosinus itd. Te funkcije imajo nenavadne in celo bizarne lastnosti - in to je res zanimivo! Resnično vam želim povedati, toda tukaj, kot se zgodi, ni referenčna knjiga ali učbenik, ampak knjiga rešitev, zato bom obravnaval isti problem z nekaterimi običajnimi funkcijami.

Najprej o t.i Eulerjeve formule:

Za kogarkoli veljavenštevila veljajo naslednje formule:

Lahko ga tudi kopirate v svoj zvezek kot referenčno gradivo.

Strogo gledano obstaja samo ena formula, vendar običajno zaradi udobja napišejo tudi poseben primer z minusom v eksponentu. Ni nujno, da je parameter ena črka, lahko je kompleksen izraz ali funkcija, pomembno je le, da sprejmejo samo veljavno pomeni. Pravzaprav bomo to videli prav zdaj:

Primer 7

Poiščite izpeljanko.

rešitev: Generalna linija stranke ostaja neomajna - treba je ločiti realne in imaginarne dele funkcije. Spodaj bom podal podrobno rešitev in komentiral vsak korak:

Od takrat:

(1) Namesto tega nadomestite "z".

(2) Po zamenjavi morate izbrati realne in namišljene dele prvi v indikatorju razstavljavci. Če želite to narediti, odprite oklepaje.

(3) Združimo namišljeni del indikatorja, namišljeno enoto postavimo izven oklepaja.

(4) Uporabljamo šolsko akcijo z diplomami.

(5) Za množitelj uporabimo Eulerjevo formulo in .

(6) Odprite oklepaje, kar povzroči:

– realni del funkcije;
– imaginarni del funkcije.

Nadaljnja dejanja so standardna, preverimo izpolnjevanje Cauchy-Riemannovih pogojev:

Primer 9

Določite realne in imaginarne dele funkcije . Preverite izpolnjevanje Cauchy-Riemannovih pogojev. Tako bodi, izpeljanke ne bomo našli.

rešitev: Algoritem rešitve je zelo podoben prejšnjima dvema primeroma, vendar obstajajo zelo pomembne točke, zato bom ponovno korak za korakom komentiral začetno stopnjo:

Od takrat:

1) Namesto tega zamenjajte »z«.

(2) Najprej izberemo realne in namišljene dele znotraj sinusa. Za te namene odpiramo oklepaje.

(3) Uporabljamo formulo in .

(4) Uporaba pariteta hiperboličnega kosinusa: In čudnost hiperboličnega sinusa: . Hiperbolike, čeprav niso iz tega sveta, v marsičem spominjajo na podobne trigonometrične funkcije.

Končno:
– realni del funkcije;
– imaginarni del funkcije.

Pozor! Znak minus se nanaša na imaginarni del in nikakor ga ne smemo izgubiti! Za jasno ponazoritev lahko zgornji rezultat prepišemo na naslednji način:

Preverimo izpolnjevanje Cauchy-Riemannovih pogojev:

Cauchy-Riemannovi pogoji so izpolnjeni.

odgovor:, , so Cauchy-Riemannovi pogoji izpolnjeni.

Dame in gospodje, ugotovimo sami:

Primer 10

Določite realni in imaginarni del funkcije. Preverite izpolnjevanje Cauchy-Riemannovih pogojev.

Namenoma sem izbral težje primere, saj se zdi, da je vsak kos nečemu, kot so olupljeni arašidi. Hkrati boste urili svojo pozornost! Lomka za orehe na koncu lekcije.

No, za konec si bom ogledal še en zanimiv primer, ko je zapleten argument v imenovalcu. V praksi se je že nekajkrat zgodilo, poglejmo nekaj preprostega. Eh, staram se...

Primer 11

Določite realni in imaginarni del funkcije. Preverite izpolnjevanje Cauchy-Riemannovih pogojev.

rešitev: Spet je treba razlikovati med realnimi in imaginarnimi deli funkcije.
Če, potem

Postavlja se vprašanje, kaj storiti, ko je v imenovalcu »Z«?

Vse je preprosto - standardni bo pomagal metoda množenja števca in imenovalca s konjugiranim izrazom, je bil že uporabljen v primerih lekcije Kompleksna števila za telebane. Spomnimo se šolske formule. V imenovalcu že imamo, kar pomeni, da bo konjugirani izraz . Tako morate števec in imenovalec pomnožiti z: